Bài 1: Mở đầu về phương trình

Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

Ví dụ 1:

2x + 1 = x là phương trình với ẩn x

2t – 5 = 3(4 – t) – 7 là phương trình với ẩn t.

Chú ý:

a. Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình bày chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó.

b. Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,…,nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.

Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường được kí hiệu bởi S.

Phương trình x = -1 có tập nghiệm là {-1}. Phương trình x + 1 = 0 cũng có tập nghiệm là {-1}. Ta nói rằng hai phương trình ấy tương đương với nhau.

Tổng quát, ta gọi hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương.

Ví dụ 2:  Tìm tập hợp nghiệm của các phương trình sau:

a. x + 3 = 5

b. |x| = 1

Giải

a. Ta có: x + 3 = 5 \( \Leftrightarrow \) x = 5 – 3 = 2

Vậy, ta được S = {2}

b. Ta có: |x| = 1 \( \Leftrightarrow \) x = 1 hoặc x = -1

Vậy, ta được S = {1; -1}

Ví dụ 3: Giải phương trình: \({x^2} - 4 = 5\)

Giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình như sau:

\({x^2} - 4 = 5 \Leftrightarrow {x^2} = 5 + 4 = 9\)

\( \Leftrightarrow \) x = 3 hoặc x = -3

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 hoặc x = -3

Cách 2: Biến đổi phương trình như sau:

\({x^2} - 4 = 5 \Leftrightarrow {x^2} - 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow (x - 3)(x + 3) = 0\)

\( \Leftrightarrow \) x = 3 hoặc x = -3

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 hoặc x = -3

Bài 1: Tìm tập hợp nghiệm của các phương trình sau:

a. \((x - 2)(x + 2) = {x^2} - 4\)

b. \(\frac{1}{{x - 1}} = 0\)

c. \(|x| =  - \frac{1}{2}\)

d. \(2x + 2 = 2x + 3\)

Giải

a. Biến đổi tương đương phương trình về dạng:

\((x - 2)(x + 2) = {x^2} - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 4 = {x^2} - 4\) luôn đúng với mọi x.

Vậy phương trình có tập hợp nghiệm S = R

b. Nhận xét rằng: \(VT \ne 0\), với mọi \(x \ne 1\) do đó phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \emptyset \)

c. Nhận xét rằng: \(VT = |x| \ge 0\) với mọi x.

\(VP =  - \frac{1}{2},\) luôn âm, do đó phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có tập hợp nghiệm \(S = \emptyset \)

d. Nhận xét rằng: VT = 2x + 2 < 2x + 3 = VP, do đó phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có tập hợp nghiệm \(S = \emptyset \)

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x + |x| = 0 nghiệm đúng với mọi  \(x\, \le \,0.\)

Giải

Nhận xét rằng, với \(x\, \le \,0\) ta luôn có: |x| = - x do đó: x + |x| = x – x = 0

Vậy phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x\, \le \,0\)

Bài 3: Chứng tỏ rằng phương trình mx – 3 = 2m – x – 1 luôn nhận x = 2 là nghiệm, dù m lấy bất cứ giá trị nào.

Giải

Với x = 2, ta được:

VT = m.2 – 3 = 2m – 3

VP = 2m – 2 – 1 = 2m – 3

Suy ra: VT = VP

Vậy phương trình luôn nhận x = 2 làm nghiệm, dù m lấy bất cứ giá trị nào.

Qua bài giảng Mở đầu về phương trình này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm được khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn. phương trình tương đương
• Biết cách giảii phương trình bậc nhất một ẩn
• Vận dụng được kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Bài 1 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Hai phương trình tương đương là hai phương trình có:

   

  • A. Một nghiệm giống nhau 
  • B. Hai nghiệm giống nhau 
  • C. Tập nghiệm giống nhau 
  • D. Tập nghiệm khác nhau 

• Câu 2:

  Số \(\frac{1}{2}\) là nghiệm của phương trình nào dưới đây?

  • A. \(x - 1 = \frac{1}{2}\)
  • B. 4x² - 1 = 0 
  • C. x² + 1 = 5
  • D. 2x - 1 =3

• Câu 3:

  Chọn khẳng định đúng 

  • A. 3 là nghiệm của phương trình x² - 9 = 0
  • B. {3} là tập nghiệm của phương trình x² - 9 = 0
  • C. Tập nghiệm của phương trình (x + 3)(x - 3) = x² - 9 là Q
  • D. x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình x² - 4 = 0

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 1 trang 6 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 2 trang 6 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 3 trang 6 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 4 trang 7 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 5 trang 7 SGK Toán 8 Tập 2

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!