Bài 4: Phương trình tích - Luyện tập

Ta sử dụng, kết quả:

\(A(x).B(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A(x) = 0\\B(x) = 0\end{array} \right.\)

Với phương trình

\(A(x).B(x)....M(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A(x) = 0\\B(x) = 0\\......\\M(x) = 0\end{array} \right.\)

Lấy các nghiệm của các phương trình trên, ta được nghiệm của phương trình ban đầu.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a. (x – 1) (3 – 2x) = 0

b. (5x – 3)(4x + 1)(x – 8)(x + 3) = 0

Giải

a. Phương trình tương đương với:

\(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\3 - 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: \(x = 1,x = \frac{3}{2}\)

b. Phương trình tương đương với:

\(\left[ \begin{array}{l}5x - 3 = 0\\4x + 1 = 0\\x - 8 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\x =  - \frac{1}{4}\\x = 8\\x =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm \(x = \frac{3}{5},x =  - \frac{1}{4}\,,x = 8,x =  - 3\)

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:  

a. \(2x(x + 1) = {x^2} - 1\)

b. \(3{x^3} = {x^2} + 3x - 1\)

Giải

a.  Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

2x(x+1) =(x-1) (x+1)

\( \Leftrightarrow \) 2x (x+1) – (x – 1)(x + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \)(x + 1)(2x – x + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \)(x + 1)(x+1) = 0

\( \Leftrightarrow \) x + 1 = 0

\( \Leftrightarrow \) x = -1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

\(2{x^2} + 2x - {x^2} + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {(x + 1)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \) x + 1 = 0

\( \Leftrightarrow \) x = -1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1

b.  Biến đổi phương trình về dạng:

\(3{x^3} - {x^2} - 3x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2}(3x - 1) - (3x - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow (3x - 1)({x^2} - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 1 = 0\\{x^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x =  \pm 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt là \(x =  - 1,x = 1,x = \frac{1}{3}\)

Ví dụ 3: Cho phương trình \((x + 1 - 3m)(3x - 5 + 2m) = 0\)

a. Tìm các giá trị của m sao cho một trong các nghiệm của phương trình là x = 1.

b. Với mỗi m vừa tìm được ở câu a, hãy giải phương trình đã cho.

Giải

a. Để phương trình nhận x = 1 làm một nghiệm điều kiện là:

(1+1 – 3m)(3.1 – 5 + 2m) = 0

\( \Leftrightarrow (2 - 3m)( - 2 + 2m) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 3m = 0\\ - 2 + 2m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m = 1\end{array} \right.\)

Vậy với \(m = \frac{2}{3}\) hoặc m = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Ta lần lượt thực hiện:

* Với \(m = \frac{2}{3}\) phương trình có dạng: \((x + 1 - 3.\frac{2}{3})(3x - 5 + 2.\frac{2}{3}) = 0\)

\( \Leftrightarrow (x - 1)(3x - \frac{{11}}{3}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\3x - \frac{{11}}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{11}}{9}\end{array} \right.\)

Vậy với \(m = \frac{2}{3}\) phương trình có các nghiệm \(x = 1,x = \frac{{11}}{9}\)

* Với m = 1 phương trình có dạng: (x + 1 – 3.1)(3x – 5 + 2.1) = 0

\( \Leftrightarrow (x - 2)(3x - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\3x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy với m = 1 phương trình có các nghiệm x = 2, x = 1.

Bài 1: Cho phương trình \(2{x^3} + \,ax\, + 3 = 0\)

a. Biết rằng x = -1 là một nghiệm của phương trình (1), hãy xác định a.

b. Với a vừa tìm được ở câu a) hãy tìm các nghiệm còn lại của phương trình.

Giải

a. Vì x = -1 là một nghiệm của phương trình (1) nên ta được:

\(2{( - 1)^3} + a( - 1) + 3 = 0 \Leftrightarrow  - 2 - a + 3 = 0 \Leftrightarrow a = 1\)

Vậy với a = 1 phương trình (1) có một nghiệm là x = -1.

b. Với a = 1 phương trình (1) có dạng: \(2{x^3} + x + 3 = 0\)    (2)

Để giải phương trình (2) ta cần phân tích đa thức \(2{x^3} + x + 3\) thành nhân tử, để thực hiện công việc này chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện phép phân tích:

\(2{x^3} + x + 3 = 2{x^3} + 2 + x + 1\)

\( = 2({x^3} + 1) + (x + 1)\)

\( = 2(x + 1)({x^2} - x + 1) + (x + 1)\)

\( = (x + 1)(2{x^2} - 2x + 2 + 1)\)

\( = (x + 1)(2{x^2} - 2x + 3)\)

Cách 2: Vì x = -1 là nghiệm của phương trình nên đa thức \(2{x^3} + x + 3\) sẽ chia hết cho x + 1 (thực hiện phép chia đa thức \(2{x^3} + x + 3\) ra nháp), từ đó ta được: \(2{x^3} + x + 3\, = (x + 1)(2{x^2} - 2x + 3)\)

Khi đó, phương trình có dạng:

\((x + 1)(2{x^2} - 2x + 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2{x^2} - 2x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Giải (1), ta được x = -1

Giải (2), ta có nhận xét: \(2{x^3} - 2x + 3\, = 2({x^2} - x + 1) > 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1

Bài 2: Giải phương trình \(2{x^3} + {x^2} - 5x + 2 = 0.\) Biết rằng phương trình có một nghiệm là x = 1.

Giải

Thực hiện phép chia đa thức \(2{x^3} + {x^2} - 5x + 2\) cho x – 1, ta được:

\(2{x^3} + {x^2} - 5x + 2 = (x - 1)(2{x^2} + 3x - 2) = (x - 1)(2{x^2} + 4x - x - 2)\)

\( = (x - 1){\rm{[}}2x(x + 2) - (x + 2){\rm{]}} = (x - 1)(2x - 1)(x + 2) = 0\)

Khi đó, phương trình có dạng: \((x - 1)(2x - 1)(x + 2) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{2}\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt \(x = 1,x = \frac{1}{2},x =  - 2\)

Bài 3: Giải các phương trình

a. \({x^2} - 9x + 20 = 0\)

b. \({x^3} - 4{x^2} + 5x = 0\)

Giải

a.  Biến đổi: \({x^2} - 9x + 20 = {x^2} - 4x - 5x + 20 = x(x - 4) - 5(x - 4) = (x - 4)(x - 5)\)

Khi đó, phương trình có dạng:

\((x - 4)(x - 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 5\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 4, x = 5

b. Biến đổi: \({x^3} - 4{x^2} + 5x = x({x^2} - 4x + 5) = x{\rm{[}}{(x - 2)^2} + 1]\)

Khi đó phương trình có dạng: \(x{\rm{[}}{(x - 2)^2} + 1] = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0 .

Qua bài giảng Phương trình tích này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Biết cách giải dạng phương trình tích
• Vận dụng được kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Chương 3 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Phương trình (4 + 2x)(x - 1) = 0 có nghiệm là

  • A. x = 1; x = 2
  • B. x = =2; x = 1
  • C. x = -1; x = 2
  • D. x = 1; x = 3

• Câu 2:

  Các nghiệm của phương trình (2 + 6x) (-x² - 4) = 0 là:

   

  • A. x =2
  • B. x = -2
  • C. \(x =  - \frac{1}{2};x = 2\)
  • D. \(x =  - \frac{1}{3}\)

• Câu 3:

  Phương trình (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0 có số nghiệm là:

   

  • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 4

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 21 trang 17 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 22 trang 17 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 23 trang 17 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 24 trang 17 SGK Toán 8 Tập 2

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!