Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu - Luyện tập

Chúng ta sẽ bắt đầu với việc giải phương trình: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x\)

Ta sẽ trình bày theo hai cách để chỉ ra điều cần chú ý:

1. Với cách giải: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x \Leftrightarrow {x^2} - 1 = x(x - 1) \Leftrightarrow {x^2} - 1 = {x^2} - x \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

2. Với các giải: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x \Leftrightarrow \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} = x\)

\( \Leftrightarrow x + 1 = x \Leftrightarrow 1 = 0\) mâu thuẫn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

⇒ Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần chú ý đến một yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định của phương trình.

Đối với các phương trình dạng: \(\frac{{{A_1}(x)}}{{{B_1}(x)}} + \frac{{{A_2}(x)}}{{{B_2}(x)}} + ... + \frac{{{A_n}(x)}}{{{B_n}(x)}} = 0\)

điều kiện xác định của phương trình được cho bởi hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{B_1}(x) \ne 0\\{B_2}(x) \ne 0\\.........\\{B_n}(x) \ne 0\end{array} \right.\)

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định cho phương trình sau: \(\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 5x + 4}} = 2.\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} - 5x + 4 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Giải (1), ta được: \({x^2} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne  \pm 1.\)

Giải (2): \({x^2} - 5x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x(x - 1) - 4(x - 1) \ne 0\)

\( \Leftrightarrow (x - 1)(x - 4) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right.\)

Vậy điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 1\\x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 1\\x \ne 4\end{array} \right.\)

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của hai phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 2: Giải phương trình \(\frac{x}{{x - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\{x^2} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne  \pm 1\)

Biến đổi phương trình về dạng: \(\frac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \frac{{2x}}{{(x - 1)(x + 1)}}\)

\( \Leftrightarrow x(x + 1) - 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x(x - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

x = 1 loại vì không thoả mãn điều kiện

Vậy phương trình có một nghiệm x = 0.

Ví dụ 3: Giải phương trình \(\frac{{x - 5}}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 3}} = 1\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 3\end{array} \right.\)

Biến đổi phương trình về dạng:

\(\frac{{(x - 5)(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}} + \frac{{2(x - 1)}}{{(x - 1)(x - 3)}} = \frac{{(x - 1)(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}}\)

\( \Leftrightarrow (x - 5)(x - 3) + 2(x - 1) = (x - 1)(x - 3)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 + 2x - 2 = {x^2} - 4x + 3\)
\( \Leftrightarrow  - 8x + 2x + 4x = 3 - 15 + 2\)
\( \Leftrightarrow  - 2x =  - 10\)
\( \Leftrightarrow x = 5\) thoả mãn điều kiện

Vậy phương trình có một nghiệm x = 5.

Bài 1: Giải phương trình \(\frac{{x + 5}}{{{x^2} - 5x}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} + 10x}} = \frac{{x + 25}}{{2{x^2} - 5x}}\)

Giải

Viết lại phương trình dưới dạng:

\(\frac{{x + 5}}{{{x^2} - 5x}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} + 10x}} = \frac{{x + 25}}{{2{x^2} - 5x}}\)

Điều kiện xác định của phương trình là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x(x - 5) \ne 0\\2x(x + 5) \ne 0\\2({x^2} - 25) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne  \pm 5\end{array} \right.\)

Biến đổi phương trình về dạng:

\(2{(x + 5)^2} - {(x - 5)^2} = x(x + 25)\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 20x + 50 - {x^2} + 10x - 25 = {x^2} + 25x\)

\( \Leftrightarrow 5x =  - 25 \Leftrightarrow x =  - 5\) không thoả mãn điều kiện.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải phương trình \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = \frac{1}{{7 - x}} + 8\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 7 \ne 0\\7 - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 7\\x \ne 7\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 7\)

Tới đây để thực hiện tiếp chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu:

\(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} =  - \frac{1}{{x - 7}} + 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8}}{{x - 7}} =  - \frac{1}{{x - 7}} + \frac{{8(x - 7)}}{{x - 7}}\)

\( \Leftrightarrow x - 8 =  - 1 + 8(x - 1) \Leftrightarrow x - 8 =  - 1 + 8x - 56\)

\( \Leftrightarrow x - 8x =  - 1 - 56 + 8 \Leftrightarrow  - 7x =  - 49 \Leftrightarrow x = 7\) không thoả mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Cách 2: Thực hiện phép quy đồng cục bộ:

\(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = \frac{1}{{7 - x}} + 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8}}{{x - 7}} + \frac{1}{{x - 7}} = 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8 + 1}}{{x - 7}} = 8\)

\( \Leftrightarrow 1 = 8\), mẫu thuẫn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 3: Giải phương trình \({x^2} + \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = 3x + \frac{3}{{x - 2}}\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2.\)

Biến đổi phương trình về dạng:

\({x^2} - 3x + \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + \frac{{2x - 1 - 3}}{{x - 2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + \frac{{2x - 4}}{{x - 2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow x(x - 1) - 2(x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

* x = 2 loại vì không thoả mãn điều kiện

Vậy phương trình có một nghiệm x = 1.

Qua bài giảng Phương trình chứa ẩn ở mẫu này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Biết cách tìm điều kiện xác định của phương trình
• Nắm vững phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
• Vận dụng được kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Chương 3 Bài 5 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{1}{{x - 2}} + 3 = \frac{{3 - x}}{{x - 2}}\) là 

  • A. \(x \ne 3\)
  • B. \(x \ne 2\)
  • C. \(x \ne -2\)
  • D. \(x \ne -3\)

• Câu 2:

  Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{x}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}} = 0\) là 

  • A. \(x \ne 1;x \ne  - 2\)
  • B. \(x \ne 0\)
  • C. \(x \ne 2\) và \(x \ne  \pm 1\)
  • D. \(x \ne  - 2;x \ne 1\)

• Câu 3:

  Phương trình \(\frac{{6{\rm{x}}}}{{9 - {x^2}}} = \frac{x}{{x + 3}} - \frac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là

  • A. x = -3
  • B. x = -2
  • C. vô nghiệm 
  • D. vô số nghiệm 

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 27 trang 22 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 28 trang 22 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 31 trang 23 SGK Toán 8 Tập 2

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!