Bài 5: Phép quay

a) Định nghĩa

Cho điểm O và góc lượng giác \(\alpha .\) Phép biến hình biến O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho OM=OM’ và góc lượng giác (OM,OM’) bằng \(\alpha \) được họi là phép quay tâm O góc \(\alpha .\)

Ký hiệu: \({Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\)

- Điểm O gọi là tâm quay, \(\alpha \) gọi là góc quay.

Nhận xét:

+ Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác, ngược lại là chiều âm.

+ Với số nguyên k:

Phép quay \({Q_{\left( {O,k2\pi } \right)}}\) là phép đồng nhất.

Phép quay \({Q_{\left( {O,\pi  + k2\pi } \right)}}\) là phép đối xứng tâm.

b) Biểu diễn ảnh của phép quay

Cho tam giác ABC và điểm O. Hãy biểu diễn ảnh A’B’C’ của tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay \(\frac{\pi }{2}\).

a) Tính chất 1

Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

b) Tính chất 2

Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

c) Nhận xét

Phép quay góc quay \(0 < \alpha  < \pi \) biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ sao cho:

+ \(\left( {d,d'} \right) = \alpha \) nếu \(0 < \alpha  \le \frac{\pi }{2}\)

+ \(\left( {d,d'} \right) = \pi  - \alpha \) nếu \(\frac{\pi }{2} \le \alpha  < \pi \)

Ví dụ 1:

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy xác định ảnh của:

a) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay 360⁰.

b) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay 120⁰.

c) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay -180⁰.

d) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay -300⁰.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( A \right) = A\\{Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( B \right) = B\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OAB\)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( A \right) = E\\{Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( B \right) = F\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OEF.\)

c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O, - {{180}^0}} \right)}}\left( A \right) = D\\{Q_{\left( {O, - {{180}^0}} \right)}}\left( B \right) = E\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O, - {{180}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = ODE.\)

d) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O, - {{300}^0}} \right)}}\left( A \right) = F\\{Q_{\left( {O, - {{300}^0}} \right)}}\left( B \right) = A\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O, - {{300}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OFA.\)

Ví dụ 2:

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;0) và đường thẳng d: \(x + 2y - 2 = 0,\) đường tròn \(\left( C \right):\) \({x^2} + {y^2} - 4x = 0.\) Xét phép quay Q tâm O góc quay \({90^0}.\)

a) Tìm ảnh của điểm M qua phép quay Q.

b) Tìm ảnh của d qua phép quay Q.

c) Tìm ảnh của (C) qua phép quay Q.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: Vì \(M(2;0) \in Ox\) nên: \({Q_{\left( {0;{{90}^0}} \right)}}(M) = M':\left\{ \begin{array}{l}M' \in Oy\\OM = OM'\end{array} \right. \Rightarrow M'(0;2).\)

b) Ta có \(M\left( {2;0} \right) \in d,\) ảnh của M qua phép quay Q theo câu a là M’(0;2).

Gọi d’ là ảnh của d qua Q ta có d’ là đường thẳng qua M’ và vuông góc với d.

Đường thẳng d có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right),\) suy ra d’ có VTPT là \(\overrightarrow {n'}  = \left( {2; - 1} \right)\)

Vậy phương trình của d’ là: \(2(x - 0) - 1(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 2 = 0.\)

c) Đường tròn (C) có tâm M(2;0) và bán kính R=2.

Ảnh của M qua Q là M’(0;2).

Gọi (C) là ảnh của (C) qua Q, (C’) có tâm M’ và bán kính R=2.

Vậy phương trình của (C’) là: \({(x - 0)^2} + {(y - 2)^2} = 4.\)

Ví dụ 3:

Tìm ảnh của điểm A(3;4) qua phép quay tâm O góc quay \({90^0}.\)

Hướng dẫn giải:

Với phép quay tâm O góc 90 độ điểm A thành A’(x;y) có tọa độ thỏa mãn: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}OA = OA'\\(OA;OA') = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^2} + {4^2} = {x^2} + {y^2}\\\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OA'}  = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 25\\3x + 4y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Do \(\alpha  = {90^0} > 0\) phép quay theo chiều dương suy ra: \(A'( - 4;3).\)

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm, tính chất và các dạng bài tập liên quan đến Phép quay. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải các em sẽ nắm được phương pháp làm bài, qua đó làm chủ nội dung bài học này.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho hình vuông ABCD tâm O. Xét phép quay Q có tâm O và góc quay \(\varphi .\) Với giá trị nào sau đây của \(\varphi ,\) phép quay Q biến hình vuông ABCD thành chính nó?

  • A. \(\varphi  = \frac{\pi }{6}.\)
  • B. \(\varphi  = \frac{\pi }{4}.\)
  • C. \(\varphi  = \frac{\pi }{3}.\)
  • D. \(\varphi  = \frac{\pi }{2}.\)

• Câu 2:

  Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm O góc quay \({120^0}.\)

  • A. \(\Delta AOB.\)
  • B. \(\Delta BOC.\)
  • C. \(\Delta DOC.\)
  • D. \(\Delta EOD.\)

• Câu 3:

  Tìm ảnh của đường thẳng \(d:x + y - 2 = 0\) qua phép quay tâm O góc \({90^0}.\)

  • A. \(x + y + 2 = 0.\)
  • B. \(x - y + 2 = 0.\)
  • C. \(x + y - 2 = 0.\)
  • D. \(x - y - 2 = 0.\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 19 SGK Hình học 11

Bài tập 2 trang 19 SGK Hình học 11

Bài tập 1.15 trang 24 SBT Hình học 11

Bài tập 1.16 trang 24 SBT Hình học 11

Bài tập 1.17 trang 25 SBT Hình học 11

Bài tập 1.18 trang 25 SBT Hình học 11

Bài tập 12 trang 18 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 13 trang 18 SGK Hình học 11 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.