Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

a) Định nghĩa

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

Ký hiệu: F

- Nếu F(M) = M’ và F(N) = N’ thì MN = M’N’

b) Nhận xét

- Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, quay đều là phép dời hình.

- Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.

Phép dời hình:

• Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.
• Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
• Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Ví dụ 1:

a) Cho hình vuông ABCD tâm O. Tìm ảnh của các điểm A, B, O qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép \({Q_{\left( {O{{,90}^0}} \right)}}\) và phép Đ_BD.

b) Quan sát hình vẽ và cho biết \(\Delta ABC\) biến thành \(\Delta A''B''C''\) qua phép dời hình nào?

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,90}^0}} \right)}}\left( O \right) = O\\{Q_{\left( {O{{,90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\\{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = C\end{array} \right.\) và Đ_BD(O)=O; Đ_BD(B)=B; Đ_BD(C)=A.

Vậy ảnh của O là O, A là B và B là A.

b) Ta có:

\({Q_{\left( {C{{,90}^0}} \right)}}\left( {ABC} \right) = A'B'C\)

\({T_{\overrightarrow {AA''} }}\left( {A'B'C} \right) = A''B''C''.\)

Vậy phép dời hình cần tìm là phép biến hình thực hiện liên tiếp hai phép\({Q_{\left( {C{{,90}^0}} \right)}}\) và \({T_{\overrightarrow {AA''} }}.\)

Ví dụ 2:

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy xác định ảnh của \(\Delta OAB\)qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 60⁰ và phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OE} .\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,60}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\\{Q_{\left( {O{{,60}^0}} \right)}}\left( B \right) = C\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {Q_{\left( {O{{,60}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OBC\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{T_{\overrightarrow {OE} }}\left( O \right) = E\\{T_{\overrightarrow {OE} }}\left( B \right) = O\\{T_{\overrightarrow {OE} }}\left( C \right) = D\end{array} \right. \Rightarrow {T_{\overrightarrow {OE} }}\left( {OBC} \right) = EOD\)

Vậy ảnh của \(\Delta OAB\)qua phép dời hình đã cho là \(\Delta EOD\).

Ví dụ 3:

Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng hình thang AEOB và hình thang CFOD bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Đ_o(O)=O; Đ_O(A)=C; Đ_O(E)=F; Đ_O(B)=D.

Suy ra: Đ_O(AEOB)=CFOD.

Vậy có phép dời hình là phép đối xứng tâm O biến hình thang AEOB thành hình thang CFOD. Vậy hai hình thang này bằng nhau.

Nội dung bài học Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau được xây dựng dựa trên các phép biến hình đã học ở bài trước. Thông qua bài học này các em sẽ thấy được các điểm chung, mối liên hệ của các phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép quay. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải bài tập.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Chương 1 Bài 6 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho hai hình bình hành. Hãy chỉ ra một đường thẳng chia mỗi hình bình hành đó thành hai hình bằng nhau.

  • A. Đường thẳng đi qua hai tâm của hai hình bình hành.
  • B. Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hai hình bình hành.
  • C. Đường thẳng đi qua tâm của hình bình hành thứ nhất và một đỉnh của hình hành còn lại.
  • D. Đường chéo của một trong hai hình bình hành đó.

• Câu 2:

  Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau và góc giữa chúng là \(\alpha .\) Gọi Đ_a là phép đối xứng qua a. Đ_b là phép đối xứng qua b. Với mọi điểm M bất kì, gọi M₁=Đ_a(M), M₂=Đ_a(M₁). Xét phép biến hình F biến M thành M₂. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

  • A. F không phải là phép dời hình.
  • B. F là phép quay với góc quay có giá trị tuyệt đối là \(\alpha .\)
  • C. F là phép quay với góc quay có giá trị tuyêt đối là \(2\alpha .\)
  • D. F là phép quay với góc quay \(4\alpha .\)

• Câu 3:

  Cho hai điểm A, B phân biệt. Gọi Đ_A là phép đối xứng qua A; T là phép tịnh tiến theo vectơ \(2\overrightarrow {AB} .\) Với điểm M bất kì, gọi M₁=Đ_A(M), M₂=T(M₁). Gọi F là phép biến hình biến M thành M₂. Chọn khẳng định đúng.

  • A. F không là phép dời hình.
  • B. F là phép đối xứng trục.
  • C. F là phép đối xứng tâm.
  • D. F là phép tịnh tiến.

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 1 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 23 SGK Hình học 11

Bài tập 2 trang 24 SGK Hình học 11

Bài tập 3 trang 24 SGK Hình học 11

Bài tập 1.19 trang 28 SBT Hình học 11

Bài tập 1.20 trang 28 SBT Hình học 11

Bài tập 1.21 trang 28 SBT Hình học 11

Bài tập 1.22 trang 28 SBT Hình học 11

Bài tập 20 trang 23 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 21 trang 23 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 22 trang 23 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 23 trang 23 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 24 trang 23 SGK Hình học 11 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.