Bài 4: Hàm số mũ Hàm số lôgarit

2.1. Hàm số mũ

a) Định nghĩa hàm số mũ

Cho số thực dương \(a\) khác 1.

Hàm số \(y=a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\).

b) Tính chất hàm số mũ

• Tập xác định: \(\mathbb{R}.\)
• Tập giá trị: \((0;+\infty )\)
• Với \(a>1\) hàm số \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
• Với \(0
• Đồ thị hàm số mũ nhận trục \(Ox\) làm tiệm cận ngang.

c) Đạo hàm của hàm số mũ

• Hàm số \(y=e^x\) có đạo hàm với mọi \(x\) và: \(\left ( e^x \right )'=e^x\)
• Hàm số \(y=a^x(a>0,a\ne 1)\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và: \(\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}{\mathop{\rm lna}\nolimits}\)
• Đối với hàm hợp:
  • ​\(({e^u})' = u'.{e^u}\)
  • ​\(({a^u})' = {a^u}.\ln a.u'\)

2.2. Hàm số Lôgarit

a) Định nghĩa hàm số Lôgarit

Cho số thực dương \(a\) khác 1.

Hàm số \(y=\log_ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số \(a.\)

b) Tính chất hàm số Lôgarit

• Tập xác định: \(\left( {0; + \infty } \right).\)
• Tập giá trị: \(\mathbb{R}.\)
• Với \(a>1\): \(y=\log_ax\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
• Với \(0
• Với \(x_1>0,x_2>0\): \(\log_ax_1=\log_ax_2\Leftrightarrow x_1=x_2\)

c) Đạo hàm của hàm số logarit

• \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)

• \(\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)

• \(\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\)

• Đối với hàm hợp:
  • ​\(\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u.\ln a}}\)
  • ​\(\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{{\ln u}}\)

Ví dụ 1:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x}\)

b) \(y = {2^{{x^2} - 3x}}\)

c) \(y = \frac{{{2^x} - 1}}{{{5^x}}}\)

d) \(y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\)

Lời giải:

a) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} \Rightarrow y' = \left( {2x - 2} \right){e^x} + \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} = \left( {{x^2}} \right){e^x}\)

b) \(y = {2^{{x^2} - 3x}} \Rightarrow y' = (2x - 3){.2^{{x^2} - 3x}}.\ln 2\)

c) \(y = \frac{{{2^x} - 1}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} \Rightarrow y' = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}.\ln \frac{2}{5} - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x}.\ln \frac{1}{5}\)

d) \(y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\)

\(\Rightarrow y' = \frac{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) - \left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\)

Ví dụ 2: 

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\)

b) \(y = \frac{{\ln x}}{x}\)

c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x\)

d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\)

Lời giải:

a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\)

b) \(y = \frac{{\ln x}}{x} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{1}{x}.x - \ln x} \right) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\)

c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x \Rightarrow y' = \frac{{\ln x}}{x} + \frac{{1 + \ln x}}{x} = \frac{{1 + 2\ln x}}{x}\)

d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\) \(\Rightarrow y' = \frac{{\left( {3{x^2} + 1x + 1} \right)'}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}} = \frac{{6x + 2}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}}\)

Ví dụ 3:

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = {\log _2}(25 - 4{x^2})\)

b) \(y = {\log _{2x + 1}}(3x + 1) - 2{\log _{3x + 1}}(2x + 1)\)

c) \(y = {\log _{\sqrt {3x + 2} }}(1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} )\)

Lời giải:

a) Điều kiện: \(25 - 4{x^2} > 0 \Leftrightarrow - \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right).\)

b) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 2x + 1 \ne 1\\ 0 < 3x + 1 \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).

c) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 3x + 2 \ne 1\\ 1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - \frac{2}{3}\\ x \ne - \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - \frac{1}{3};0} \right\}\).

Ví dụ 4: 

Tìm m để hàm số \(y={\log _2}(2{x^2} + 3x + 2m - 1)\) xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Lời giải:

Điều kiện: \(2{x^2} + 3x + 2m - 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Ta có: \(\Delta = {3^2} - 4.2.(2m - 1) = 17 - 16m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{17}}{{16}}.\)

Vậy với \(m<\frac{17}{16}\) hàm số xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Nội dung bài học sẽ cung cấp đến các em khái niệm, tính chất, cách tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit, cùng với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng \(f\left( x \right)\) là một trong bốn hàm số được đưa ra trong các phương án A, B, C, D dưới đây. Tìm \(f\left( x \right)\).

  

  • A. \(f\left( x \right) = {e^x}\)
  • B.  \(f\left( x \right) = {x^{\frac{e}{\pi }}}\)
  • C. \(f\left( x \right) = \ln x\)
  • D. \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{3}{\pi }} \right)^x}\)

• Câu 2:

  Cho các hàm số \(y = {\log _2}x;y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x};\)

  \(y = \log {\rm{x}};y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}.\)

  Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó?

  • A. 2
  • B. 3
  • C. 1
  • D. 4

• Câu 3:

  Kết quả tính đạo hàm nào sau đây sai?

  • A. \({\left( {{{\log }_3}x} \right)'} = \frac{1}{{x\ln 3}}.\)
  • B. \({\left( {{2^x}} \right)'} = {2^x}\ln 2.\)
  • C. \({\left( {\ln x} \right)'} = \frac{1}{x}.\)
  • D. \({\left( {{e^{5x}}} \right)'} = {e^{5x}}.\)

• Câu 4:

  Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{{9^x}}}\)

  • A. \(y' = \frac{{1 - 2\left( {x + 3} \right)\ln 3}}{{{3^{2x}}}}\)
  • B. \(y' = \frac{{1 + 2\left( {x + 3} \right)\ln 3}}{{{3^{2x}}}}.\)
  • C. \(y' = \frac{{1 - 2\left( {x + 3} \right)\ln 3}}{{{3^{{x^2}}}}}.\)
  • D. \(y' = \frac{{1 + 2\left( {x + 3} \right)\ln 3}}{{{3^{{x^2}}}}}\)

Câu 5- Câu 13: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 48 trang 112 SGK Toán 12 NC

Bài tập 2.44 trang 119 SBT Toán 12

Bài tập 2.45 trang 119 SBT Toán 12

Bài tập 49 trang 112 SGK Toán 12 NC

Bài tập 50 trang 112 SGK Toán 12 NC

Bài tập 50 trang 112 SGK Toán 12 NC

Bài tập 51 trang 112 SGK Toán 12 NC

Bài tập 52 trang 112 SGK Toán 12 NC

Bài tập 53 trang 113 SGK Toán 12 NC

Bài tập 54 trang 113 SGK Toán 12 NC

Bài tập 55 trang 113 SGK Toán 12 NC

Bài tập 56 trang 113 SGK Toán 12 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.