Lũy thừa là một khái niệm quen thuộc đã được học từ lớp 7, đến chương trình giải tích 12 khái niệm lũy thừa được mở rộng và học sinh được tìm hiểu sâu hơn. Nội dung bài học cung cấp đến các em những vấn đề lý thuyết trọng tâm cũng như phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em học tập tốt phần này.
Tóm tắt lý thuyết
2.1. Khái niệm lũy thừa
a) Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho \(n\) là một số nguyên dương.
- Với \(a\) là số thực tùy ý, lũy thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số \(a\): \({a^n} = \underbrace {a.a......a}_n\)
- Với \(a\ne0\):
- \(a^0=1\)
- \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)
Trong biểu thức \(a^m\), ta gọi \(a\) là cơ số, số nguyên \(m\) là số mũ.
- Chú ý:
- \(0^0\) và \(0^n\) không có nghĩa.
- Lũy thừa với số mũ nguyên có các tihs chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho \(a\) là số thực dương và số hữu tỉ \(r=\frac{m}{n}\) trong đó \(m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N},n\geq 2.\) Lũy thừa với số mũ \(r\) là số \(a^r\) xác đinh bởi: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).
c) Lũy thừa với số mũ thực
Cho \(a\) là một số dương, \(\alpha\) là một số vô tỉ:
Ta gọi giới hạn của dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) là lũy thừa của \(a\) với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \(a^{\alpha}.\)
\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(a = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}\).
2.2. Các tính chất quan trọng của lũy thừa
Với số thực \(a>0\) ta có các tính chất sau:
- \(a^x.a^y=a^{x+y} \ \ \ x, y\in \mathbb{R}\)
- \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} \ \ \ x, y \in \mathbb{R}\)
- \((a^x)^y=a^{xy} \ \ \ x,y\in R\)
- \(\sqrt[x]{a^y}=a^{\frac{y}{x}} \ \ \ x\in N, x\geq 2, y\in R\)
- \((a.b)^x=a^x.b^x\)
- \(\left ( \frac{a}{b} \right )^y=\frac{a^y}{b^y}\)
2.3. So sánh hai lũy thừa
Cho số thực \(a\):
- Nếu \(a>1\) thì \(a^x > a^y\Leftrightarrow x>y\).
- Nếu \(0 a^y\Leftrightarrow x
Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}} - \frac{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}}\left( {ab \ne 0;a \ne \pm b} \right)\)
Lời giải:
\(A = \frac{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}} - \frac{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}} = \frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{b^n} - {a^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}} - \frac{{{b^n} - {a^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}}\)
\(= \frac{{{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)}^2} - {{\left( {{b^n} - {a^n}} \right)}^2}}}{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)\left( {{b^n} - {a^n}} \right)}} = \frac{{4{a^n}{b^n}}}{{{b^{2n}} - {a^{2n}}}}\)
Ví dụ 2:
Cho a,b là các số thực dương .Rút gọn biểu thức sau:
a) \(\left( {1 - 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}\)
b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}} - {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ - \frac{1}{2}}}}}\)
Lời giải:
a) \(\left( {1 - 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = {\left( {1 - \sqrt {\frac{a}{b}} } \right)^2}:\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\)
\(= \frac{{{{\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)}^2}}}{b}.\frac{1}{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}} = \frac{1}{b}\)
b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}} - {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ - \frac{1}{2}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - a} \right)}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}}\left( {1 - {b^2}} \right)}}{{{b^{ - \frac{1}{2}}}\left( {{b^2} - 1} \right)}} = 1 + a + 1 = a + 2\)
Ví dụ 3:
Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau:
a) \(A = \sqrt[5]{{2\sqrt[3]{{2\sqrt 2 }}}}\)
b) \(B = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\quad \left( {a > 0} \right)\)
Lời giải:
a) \(A = \sqrt[5]{{2\sqrt[3]{{2\sqrt 2 }}}} = \left\{ {{{\left[ {{{\left( {{2^{\frac{1}{2}}}.2} \right)}^{\frac{1}{3}}}.2} \right]}^{\frac{1}{5}}}} \right\}\)
\(= {\left[ {{{\left( {{2^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}.2} \right]^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{2^{\frac{1}{2}}}.2} \right)^{\frac{1}{5}}} = {2^{\frac{3}{2}\frac{1}{5}}} = {2^{\frac{3}{{10}}}}\)
b) \(B = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = {\left\{ {{{\left[ {{{\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}a} \right]}^{\frac{1}{2}}}.a} \right\}^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\)
\(= {\left[ {{{\left( {{a^{\frac{3}{4} + 1}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}.a} \right]^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {\left( {{a^{\frac{7}{8} + 1}}} \right)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = \frac{{{a^{\frac{{15}}{{16}}}}}}{{{a^{\frac{{11}}{{16}}}}}} = {a^{\frac{1}{4}}}\)
Ví dụ 4:
Cho a là số thực dương, đơn giản các biểu thức sau:
a) \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}}\)
b) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)
Lời giải:
a) \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {{a^{ - 1}}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{a^{1 - \sqrt 2 }} = a\)
b) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 = \frac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)
\(= \frac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}} = \frac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}\)
Ví dụ 5:
Không dùng máy tính bỏ túi, hãy so sánh các cặp số sau:
a) \(\sqrt[4]{{13}}\; \vee \;\sqrt[5]{{23}}\)
b) \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }}\; \vee \;{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}\)
Lời giải:
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt[4]{{13}} = \sqrt[{20}]{{{{13}^5}}} = \sqrt[{20}]{{371.293}}\\ \sqrt[5]{{23}} = \sqrt[{20}]{{{{23}^4}}} = \sqrt[{20}]{{279.841}} \end{array} \right. \Rightarrow \sqrt[4]{{13}} > \sqrt[5]{{23}}\)
b) Ta có: \(\sqrt 3 > \sqrt 2 \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}\)
4. Luyện tập Bài 1 Chương 2 Toán 12
Trong phạm vi bài học Chúng tôi chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về lũy thừa, tính chất cơ bản của lũy thừa. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi hàm số mũ mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức,....các em cần tìm hiểu thêm.
4.1 Trắc nghiệm về lũy thừa
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
-
- A. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{5}{{18}}}}\)
- B. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{2}}}}\)
- C. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{8}}}}\)
- D. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{6}}}}\)
-
- A. \(\alpha = \frac{2}{3}\)
- B. \(\alpha = \frac{11}{6}\)
- C. \(\alpha = \frac{1}{6}\)
- D. \(\alpha = \frac{5}{3}\)
-
- A. \(P = \frac{1}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\).
- B. \(P = \sqrt[3]{{ab}}\).
- C. \(P = {\left( {ab} \right)^{\frac{2}{3}}}\).
- D. \(P = - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {ab} \right)}^2}}}}}\).
Câu 4- Câu 10: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online
4.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về lũy thừa
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 11 trang 78 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 81 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 81 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 81 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 81 SGK Toán 12 NC
Bài tập 16 trang 81 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 81 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 81 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 82 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 82 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 82 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 82 SGK Toán 12 NC
5. Hỏi đáp về Bài 1 Chương 2 Toán 12
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.
