Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

• Nếu $a>1$:
  • $a^x>a^y\iff x>y$
  • ​$a^{f(x)}>a^{g(x)}\iff f(x)>g(x)$
• Nếu $0<a<1$

$a^{f(x)}>a^{g(x)}\iff f(x)>g(x)$

b) Phương pháp lôgarit hóa

• Nếu $a^{f(x)}>b(1)$

$(1)\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}a>1\\ f(x)>{\log }_{a}b\end{array}\\ \{\begin{array}{c}0<a<1\\ f(x)<{\log }_{a}b\end{array}\end{array}$

• Nếu $a^{f(x)}>b^{g(x)}(2)$

$(2)\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}a>1\\ f(x)>g(x).{\log }_{a}b\end{array}\\ \{\begin{array}{c}0<a<1\\ f(x)<g(x).{\log }_{a}b\end{array}\end{array}$

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

• Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
  • $a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0$​: Đặt $t=m^{f(x)}$, ta có $a{t}^2+bt+c>0$
  • $a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0$ trong đó $m.n=1$: Đặt $t=m^{f(x)}$, ta có $a.t+b.\frac{1}{t}+c>0$$\iff a{t}^2+ct+b>0$
  •  $a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0$

Chia cả 2 vế cho $n^{2g(x)}$, ta có:

​$a.{\left[\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\right]}^2+b.\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}+c>0$

Đặt $t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}$, ta có $a{t}^2+bt+c>0$

• Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
  • Đưa về bất phương trình tích.
  • Xem ẩn ban đầu như là tham số.
• Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau:
  • Đưa về bất phương trình tích.
  • Xem 1 ẩn là tham số.

d) Phương pháp hàm số

• Xét hàm số $y=a^x$:
  • Nếu $a>1$: $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
  • Nếu $0<a<1:y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
• Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.
• Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.
• Cho hàm số $f(x)$ và $g(x)$, nếu:
  • $f(x)$đồng biến trên D.
  • $g(x)$ ​nghịch biến trên D.

⇒ $f(x)-g(x)$ đồng biến trên D.

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với $a>1:$ ${\log }_{a}f(x)>{\log }_{a}g(x)$$\iff \{\begin{array}{c}f(x)>g(x)\\ g(x)>0\end{array}$
Với $0<a<1:{\log }_{a}f(x)>{\log }_{a}g(x)\iff \{\begin{array}{l}f(x)<g(x)\\ f(x)>0\end{array}$

b) Phương pháp mũ hóa

Xét bất phương trình: ${\log }_{a}f(x)>b(1)$ với $0<x\ne 1$

• ​$a>1,(1)\iff f(x)>a^b$
• ​$0<a<1,(1)\iff 0<f(x)<a^b$

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Các kiểu đặt ẩn phụ: 

• Kiểu 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.
• Kiểu 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu.
  • Xem ẩn ban đầu là tham số
  • Bất phương trình tích
• Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn

d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

• Xét hàm số $y={\log }_{a}x(0<a\ne 1):$
  • $a>1,y={\log }_{a}x$ đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$.
  • ​$0<a<1,y={\log }_{a}x$ nghịch biến trên  $(0;+\mathrm{\infty })$.
• Xét hai hàm số $f(x)$ và $g(x):$
  • Nếu $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì $f(x)+g(x)$ là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.
  • Nếu $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số đồng biến trên tập D và $f(x).g(x)>0$ thì $f(x).g(x)$ là hàm số đồng biến trên tập D.
  • Nếu $f(x)$ đồng biến trên D, $g(x)$ nghịch biến trên D:
    • $f(x)-g(x)$ đồng biến trên D.
    • $f(x)-g(x)$ nghịch biến trên D.

1. Bất phương trình mũ

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình  ${\left(\sqrt{5}+2\right)}^{x-1}\ge {\left(\sqrt{5}-2\right)}^{-x^2+3}.$

Lời giải:

Ta có: $\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)=1\iff \sqrt{5}-2=\frac{1}{\sqrt{5}+2}={\left(\sqrt{5}+2\right)}^{-1}$

Vậy: ${\left(\sqrt{5}+2\right)}^{x-1}\ge {\left(\sqrt{5}-2\right)}^{-x^2+3}$ $\iff {\left(\sqrt{5}+2\right)}^{x-1}\ge {\left(\sqrt{5}+2\right)}^{x^2-3}\iff x-1\ge x^2-3$

$\iff x^2-x-2\le 0\iff -1\le x\le 2$

Vậy BPT có tập nghiệm $S=\left[-1;2\right]$

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình $2^{x^2-4}\ge 5^{x-2}.$

Lời giải: 

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho ta có: 

${\log }_2\left(2^{x^2-4}\right)\ge {\log }_2\left(5^{x-2}\right)\iff x^2-4\ge \left(x-2\right){\log }_{2}5$

$\iff \left(x-2\right)\left(x+2-{\log }_{2}5\right)\ge 0\iff [\begin{array}{l}x\ge 2\\ x\le {\log }_{2}5-2\end{array}$

Vậy BPT có tập nghiệm $S=\left(-\mathrm{\infty };{\log }_{2}5-2\right]\cup \left[2;+\mathrm{\infty }\right).$

Ví dụ 3:

Giải bất phương trình $3^{2\mathrm{x}+1}-{10.3}^x+3\le 0$.

Lời giải:

$3^{2\mathrm{x}+1}-{10.3}^x+3\le 0$ $\iff 3.{\left(3^x\right)}^2-{10.3}^x+3\le 0$(1)

Đặt $t=3^x>0$.

Ta có: (1) $\iff 3t^2-10t+3\le 0\iff \frac{1}{3}\le t\le 3$$\iff \frac{1}{3}\le 3^x\le 3\iff 3^{-1}\le 3^x\le 3^1\iff -1\le x\le 1$

Vậy bất phương trình có nghiệm: $S=\left[-1;1\right].$

Ví dụ 4: 

Giải bất phương trình  $3^x+4^x>5^x.$

Lời giải:

Chia 2 vế của phương trình cho ta được:

$3^x+4^x>5^x\iff {\left(\frac{3}{5}\right)}^x+{\left(\frac{4}{5}\right)}^x>1.$

Xét hàm số: $f(x)={\left(\frac{3}{5}\right)}^x+{\left(\frac{4}{5}\right)}^x,$ TXĐ: $D=\mathbb{R}$  

$f^{\prime }(x)={\left(\frac{3}{5}\right)}^x.\ln \left(\frac{3}{5}\right)+{\left(\frac{4}{5}\right)}^x.\ln \left(\frac{4}{5}\right)<0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên R.

Mặt khác: $f(2)=1\Rightarrow f(x)>1\iff x<2$ 

Vậy BPT có tập nghiệm là $S=\left(-\mathrm{\infty };2\right).$

2. Bất phương trình lôgarit

Ví dụ 5:

Giải bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-x-\frac{3}{4}\right)\le 2-{\log }_{2}5.$

Lời giải:

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-x-\frac{3}{4}\right)\le 2-{\log }_{2}5\iff {\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-x-\frac{3}{4}\right)\le {\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}+{\log }_{\frac{1}{2}}5$

$\iff {\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-x-\frac{3}{4}\right)\le {\log }_{\frac{1}{2}}\frac{5}{4}$

$\begin{array}{l}\iff x^2-x-\frac{3}{4}\ge \frac{5}{4}\iff x^2-x-2\ge 0\\ \iff [\begin{array}{c}x\le -1\\ x\ge 2\end{array}\end{array}$

Vậy tập nghiệm bất phương trình là $S=\left(-\mathrm{\infty };-1\right]\cup \left[2;+\mathrm{\infty }\right)$.

Ví dụ 6: 

Giải bất phương trình ${\log }_2\left(1-{\log }_{9}x\right)<1.$

Lời giải: 

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}x>0\\ 1-2{\log }_{9}x>0\end{array}\iff 3>x>0$  

Khi đó: ${\log }_2(1-2{\log }_{9}x)<1\iff 1-2{\log }_{9}x<2\iff {\log }_{9}x>-\frac{1}{2}\iff x>\frac{1}{3}$

Kết hợp với điều kiện ta được $S=\left(\frac{1}{3};3\right)$ là tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 7: 

Giải bất phương trình ${\log }_2^{2}x-5{\log }_{2}x-6\le 0.$

Lời giải:

Đặt $t={\log }_{2}x,$ khi đó phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}{t}^2-5t-6\le 0\\ \iff (t+1)(t-6)\le 0\\ \iff -1\le t\le 6\end{array}$

Do đó ta có:

$\begin{array}{l}-1\le {\log }_{2}x\le 6\\ \Rightarrow {\log }_2\frac{1}{2}\le {\log }_{2}x\le {\log }_{2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2}\le x\le 64\end{array}$

Vậy tập nghiệm bất phương trình là $S=\left[\frac{1}{2};64\right].$

Ví dụ 8:

Giải bất phương trình  $x+{\log }_3\left(x+1\right)>3.$ 

Lời giải:

ĐK: $x>1$

Xét hàm số $f(x)=x+{\log }_3(x+1)$ trên $\left(-1;+\mathrm{\infty }\right).$ 

Ta có $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{(x+1)\ln 3}>0$ 

$\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $\left(-1;+\mathrm{\infty }\right).$   

Mặt khác $f(2)=3$ 

Do đó: $f(x)>3\Rightarrow f(x)>f(2)\Rightarrow x>2$  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left(2;+\mathrm{\infty }\right).$

Nội dung bài học giới thiệu đến các em những phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit như đưa về cùng cơ số, mũ hóa, lôgarit hóa, đặt ẩn phụ, vận dụng tính chất hàm số. Thông những ví dụ minh họa sẽ giúp các em bước đầu biết cách giải bất phương trình mũ và lôgarit. 

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 6 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Giải bất phương trình $9^x-{\log }_{2}8<{2.3}^x.$

   

  • A. x>0
  • B. x<0
  • C. x>1
  • D. x<1

• Câu 2:

  Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: $2^{x^2-x+1}>4^{x+1}.$

  • A. $S=\left(\frac{3-\sqrt{13}}{2};\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)$
  • B. $S=\left(-\mathrm{\infty };\frac{3-\sqrt{13}}{2}\right)\cup \left(\frac{3+\sqrt{13}}{2};+\mathrm{\infty }\right)$
  • C. $S=\left(-\mathrm{\infty };-\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2};+\mathrm{\infty }\right)$
  • D. $S=\left(-\sqrt{2};\sqrt{2}\right)$

• Câu 3:

  Giải bất phương trình $5^{x+2}-2^{x+4}>5^{x+1}-2^{x+2}+2^{x+3}.$

  • A. x>0
  • B. x<0
  • C. x>1
  • D. x<1

• Câu 4:

  Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $2{\log }_3\left(4x-3\right)+{\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x+3\right)\le 2.$

  • A. $S=\left(\frac{3}{4};+\mathrm{\infty }\right)$
  • B. $S=\left[\frac{3}{4};3\right]$
  • C. $S=\left(\frac{3}{4};3\right]$
  • D. $S=\left[\frac{3}{4};+\mathrm{\infty }\right)$

• Câu 5:

  Giải bất phương trình ${{\log }_{\frac{1}{2}}}^{2}x+3{\log }_{\frac{1}{2}}x+2\le 0$.

  • A. $2\le x\le 4$
  • B. $x\le 4$
  • C. $x\ge 2$
  • D. $x\le 2$ hoặc $x\ge 4$

Câu 6- Câu 15: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 89 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 90 SGK Giải tích 12

Bài tập 2.59 trang 131 SBT Toán 12

Bài tập 2.60 trang 132 SBT Toán 12

Bài tập 2.61 trang 132 SBT Toán 12

Bài tập 2.62 trang 132 SBT Toán 12

Bài tập 2.63 trang 132 SBT Toán 12

Bài tập 2.64 trang 132 SBT Toán 12

Bài tập 80 trang 129 SGK Toán 12 NC

Bài tập 81 trang 129 SGK Toán 12 NC

Bài tập 82 trang 130 SGK Toán 12 NC

Bài tập 83 trang 130 SGK Toán 12 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.