Bài 3: Công thức lượng giác

cos( a – b) = cosa.cosb + sina.sinb    

cos( a + b) = cosa.cosb – sina.sinb    

sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb      

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb     

\(\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\)       

\(\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\)      

Cách ghi nhớ: 

Sin thì sin cos cos sin
Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).
Tang tổng thì lấy tổng tang
Chia một trừ với tích tang, dễ òm.

* Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos²a – sin²a = 2cos²a – 1= 1 – 2sin²a 

\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\)

Cách ghi nhớ:

Sin gấp đôi = 2 sin cos
Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin
= trừ 1 cộng hai lần bình cos
= cộng 1 trừ hai lần bình sin
Tang gấp đôi
Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang)
Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.

* Công thức hạ bậc

\(\begin{array}{l}
c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = \frac{{1 + c{\rm{os}}2a}}{2}\\
{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a = \frac{{1 - c{\rm{os}}2a}}{2}\\
{\tan ^2}a = \frac{{1 - c{\rm{os}}2a}}{{1 + c{\rm{os}}2a}}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\cos a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a - b) + c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\
\sin a.\sin b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a - b) - c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\
\sin a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}\sin (a - b) + \sin (a + b){\rm{]}}
\end{array}\)

Cách ghi nhớ:

Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ
Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng
Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ 

\(\begin{array}{l}
\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\
\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\
\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\
\sin u - \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}
\end{array}\)

Cách ghi nhớ:

Cos cộng cos bằng hai cos cos
cos trừ cos bằng trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng hai sin cos
sin trừ sin bằng hai cos sin.

Ví dụ 1: Tính \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}};c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}}\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức cộng đối với sin và cos

* Ta có \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \frac{{2\pi  + 3\pi }}{{12}} = \sin (\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{4})\)

\(\begin{array}{l}
 = \sin \frac{\pi }{6}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} + c{\rm{os}}\frac{\pi }{6}.\sin \frac{\pi }{4}\\
 = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2  + \sqrt 6 }}{4}
\end{array}\)

* Ta có \(c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}} = c{\rm{os}}\frac{{3\pi  + 4\pi }}{{12}} = \cos (\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3})\)

\(\begin{array}{l}
 = c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{3} - \sin \frac{\pi }{4}.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
 = \frac{{\sqrt 2  - \sqrt 6 }}{4}
\end{array}\)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng 

\(\begin{array}{l}
a){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} - a) = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\
b){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}
\end{array}\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức cộng đối với tan

\(\begin{array}{l}
a)\tan (\frac{\pi }{4} - a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\
b)\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}
\end{array}\)

Ví dụ 3: Tính sin2a, cos2a, tan2a biết \(\sin a =  - \frac{3}{5}{\rm{, }}\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\)

Hướng dẫn:

+ Tính cos a bằng công thức lượng giác cơ bản thích hợp 

+ Áp dụng công thức nhân đôi

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}a + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {\sin ^2}a\\
 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {( - \frac{3}{5})^2} = \frac{{16}}{{25}} \Leftrightarrow \cos a =  \pm \frac{4}{5}
\end{array}\)

Vì \(\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos a =  - \frac{4}{5}\)

Vậy \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a = 2.( - \frac{3}{5})( - \frac{4}{5}) = \frac{{24}}{{25}}\)

\(\begin{array}{l}
\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2{( - \frac{4}{5})^2} - 1 = \frac{{32}}{{25}} - 1 = \frac{7}{{25}}\\
\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{c{\rm{os}}2a}} = \frac{{24}}{{25}}.\frac{{25}}{7} = \frac{{24}}{7}
\end{array}\)

Ví dụ 4: Tính \({\rm{sin}}\frac{\pi }{8};\tan \frac{\pi }{8}\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức hạ bậc

Ta có \({\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\)

Vì \(\sin \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\)

\({\tan ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{{1 + c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}\)

Vì \(\tan \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\tan \frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}}  = \sqrt {\frac{{{{(2 - \sqrt 2 )}^2}}}{2}}  = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 }  = \sqrt 2  - 1\)

Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức 

\(A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}};B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l}
A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} - \frac{{5\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{10\pi }}{{12}} + \sin \frac{{20\pi }}{{12}}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{5\pi }}{6} + \sin \frac{{5\pi }}{3}} \right]\\
 = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{\pi }{6} + \sin \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right] = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}) = \frac{1}{4}\left( {1 - \sqrt 3 } \right)
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\\
 = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {{{75}^0} - {{15}^0}} \right) + \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{2}\left[ {\cos {{60}^0} + \cos {{90}^0}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2} + 0} \right] = \frac{1}{4}
\end{array}\)

Ví dụ 6: Chứng minh đẳng thức 

\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4})\)

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để biến đổi vế trái thành vế phải của đẳng thức (có thể áp dụng công thức cộng, biến đổi VP thành VT của đẳng thức)

\(\begin{array}{l}
VT{\rm{ = sinx}} + \cos x = \sin x + \sin (\frac{\pi }{2} - x)\\
 = 2\sin \frac{\pi }{4}.\cos (x - \frac{\pi }{4}) = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos (\frac{\pi }{4} - x)\\
 = \sqrt 2 .\sin [\frac{\pi }{2} - (\frac{\pi }{4} - x){\rm{]}} = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4}) = VP
\end{array}\)

Trong phạm vi bài học Chúng tôi chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Công thức lượng giác và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến công thức lượng giác.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Giả sử \(A = {\rm{tan }}x.{\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3} - {\rm{ }}x){\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3}\; + {\rm{ }}x)\) được rút gọn thành \(A = {\rm{ tan }}nx\). Khi đó n bằng:

  • A. 2
  • B. 1
  • C. 4
  • D. 3

• Câu 2:

  Nếu sinx = 3cosx thì sinx.cosx bằng:

  • A. 3/10
  • B. 2/9
  • C. 1/4
  • D. 1/6

• Câu 3:

  Cho \(\sin a = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) . Tính \(\cos 2a\sin a\) 

  • A. \(\frac{{17\sqrt 5 }}{{27}}\)
  • B. \( - \frac{{\sqrt 5 }}{9}\)
  • C. \(\frac{{\sqrt 5 }}{{27}}\)
  • D. \( - \frac{{\sqrt 5 }}{{27}}\)

• Câu 4:

  Nếu \(\cos \alpha  + \sin \alpha  = \sqrt 2 \,\,\,\left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(\alpha \) bằng:

  • A. \(\frac{\pi }{6}\)
  • B. \(\frac{\pi }{3}\)
  • C. \(\frac{\pi }{4}\)
  • D. \(\frac{\pi }{8}\)

Câu 7- Câu 18: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 43 trang 214 SGK Toán 10 NC

Bài tập 44 trang 214 SGK Toán 10 NC

Bài tập 45 trang 214 SGK Toán 10 NC

Bài tập 46 trang 215 SGK Toán 10 NC

Bài tập 47 trang 215 SGK Toán 10 NC

Bài tập 48 trang 215 SGK Toán 10 NC

Bài tập 49 trang 215 SGK Toán 10 NC

Bài tập 50 trang 215 SGK Toán 10 NC

Bài tập 51 trang 216 SGK Toán 10 NC

Bài tập 52 trang 216 SGK Toán 10 NC

Bài tập 53 trang 216 SGK Toán 10 NC

Bài tập 54 trang 216 SGK Toán 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.