Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung

Trên đường tròn lượng giác, cho điểm \(M\left( {{x_o},{y_o}} \right)\) sao cho cung lượng giác AM có sđ\(AM = \alpha \). Khi đó:

\(\begin{array}{l}
\sin \alpha  = \overline {OK}  = {y_0}\\
\cos \alpha  = \overline {OH}  = {x_0}\\
\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}{\rm{ }}\left( {\cos \alpha  \ne 0} \right)\\
\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}{\rm{ }}\left( {\sin \alpha  \ne 0} \right)
\end{array}\)

Định nghĩa: Các giá trị \(\sin \alpha ,\cos \alpha {\rm{, tan}}\alpha {\rm{, cot}}\alpha \) được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.

Chú ý:

1. Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.

2. Nếu \({0^ \circ } \le \alpha  \le {180^ \circ }\) thì các giá trị lượng giác của góc \[\alpha \] chính là các giá trị lượng giác của góc đó.

Ví dụ 1: Tính \(\sin \frac{{25\pi }}{4}\), \(cos\left( { - {{240}^o}} \right)\)

 Hướng dẫn:

Để tính giá trị lượng giác của cung lượng giác AM có số đo \(\alpha \) bất kì, ta thực hiện theo các bước:

+ Biểu diễn cung lượng giác AM trên đường tròn lượng giác.

+ Tìm tọa độ điểm M, từ đó áp dụng định nghĩa suy ra các giá trị lượng giác cần tìm.

Ta có \(\frac{{25\pi }}{4} = \frac{\pi }{4} + 3.2\pi \) Suy ra \(\sin \frac{{25\pi }}{4} = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Tương tự \( - {240^0} = {120^0} - {360^0}\) Suy ra \(cos\left( { - {{240}^o}} \right) = cos{120^ \circ } =  - \frac{1}{2}\)

1) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) xác định với mọi \(\alpha  \in R\).

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \sin \alpha ,\forall k \in Z\\
\cos \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \cos \alpha ,\forall k \in Z
\end{array}\)

2) \( - 1 \le \sin \alpha  \le 1, - 1 \le \cos \alpha  \le 1\)

3) Với mọi \(m \in R\) mà \( - 1 \le m \le 1\) đều tồn tại \(\alpha \) và \(\beta \) sao cho \(\sin \alpha  = m\) và \(\cos \alpha  = m\).

4) \(\tan \alpha \) xác định với mọi \(\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{  }}\left( {k \in Z} \right)\)

5) \(\cot \alpha \) xác định với mọi \(\alpha  \ne k\pi {\rm{  }}\left( {k \in Z} \right)\)

6) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác 

Ý nghĩa hình học của \(\tan \alpha \) và \(\cot \alpha\)

Chú ý: 

\(\begin{array}{l}
\tan \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \tan \alpha \\
\cot \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \cot \alpha 
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
si{n^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1\\
1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }},\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\\
1 + co{t^2}\alpha  = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }},\alpha  \ne k\pi ,k \in Z\\
\tan \alpha .\cot \alpha  = 1,\alpha  \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in Z
\end{array}\)

Các điểm cuối của hai cung AM và AM' đối xứng nhau qua trục hoành nên ta có:

\(\begin{array}{l} \cos ( - \alpha ) = \,\cos \alpha \\ \sin ( - \alpha ) = \,\, - \sin \alpha \\ \tan ( - \alpha ) =  - \tan \alpha \\ \cot ( - \alpha ) =  - \cot \alpha  \end{array}\)

2) Cung bù nhau: \(\alpha \) và \(\pi  - \alpha \)

Các điểm cuối của hai cung AM và AM' đối xứng với nhau qua trục tung, nên ta có:

\(\begin{array}{l} \sin (\pi  - \alpha ) = \,\,\,\,\,\,\sin \alpha \\ \cos (\pi  - \alpha ) =  - \cos \alpha \\ \tan (\pi  - \alpha ) =  - \tan \alpha \\ \cot (\pi  - \alpha ) =  - \cot \alpha  \end{array}\)

3) Hơn kém nhau \(\pi \): \(\pi \) và \(\left( {\alpha  + \pi } \right)\)

Các điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua gốc tọa độ, nên ta có:

\(\begin{array}{l} \sin (\alpha  + \pi ) =  - \sin \alpha \\ \cos (\alpha  + \pi ) =  - \cos \alpha \\ \tan (\alpha  + \pi ) = \,\,\,\,\,\tan \alpha \\ \cot (\alpha  + \pi ) = \,\,\,\,\,\cot \alpha  \end{array}\)

4) Cung phụ nhau: \(\alpha \) và \(\alpha  - \frac{\pi }{2}\)

Các điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua đường phân giác d của góc xOy, nên ta có:

\(\begin{array}{l} \sin \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \\ \cos \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\ \tan \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \\ \cot \,\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha  \end{array}\)

Chú ý: Để ghi nhớ các công thức trên dễ dàng ta học thuộc câu: “cos-đối, sin-bù, phụ-chéo, hơn kém nhau- tan và cot”. 

Ví dụ 1: Cho \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) với \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\).  Tính \(\cos \alpha \)

Hướng dẫn:

Ta có \(si{n^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\\
 \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{1}{2}
\end{array}\)

Vì \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha >0\) \( \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{1}{2}\)

Ví dụ 2: Cho \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt {11} }}{6}\) với \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha  < 2\pi \). Tính \(\sin \alpha \)

Hướng dẫn:

Ta có \(si{n^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt {11} }}{6}} \right)^2} = \frac{{25}}{{36}}\\
 \Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{5}{6}
\end{array}\)

Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < x < 2\pi \) nên \(\sin \alpha  < 0\) \( \Rightarrow \sin \alpha  =  - \frac{5}{6}\)

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau

\(A = \cos ({90^0} - x).\sin ({180^0} - x) - \sin ({90^0} - x).\cos ({180^0} - x)\)

Hướng dẫn: 

Sử dụng công thức cung phụ nhau và cung bù nhau

Ta có \(A = \cos ({90^0} - x).\sin ({180^0} - x) - \sin ({90^0} - x).\cos ({180^0} - x)\)

\(\begin{array}{l}
 = \sin x.\sin x - \cos x.( - \cos x)\\
 = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1
\end{array}\)

Ví dụ 4: Tính 

\(\begin{array}{l}
a)\cos \left( { - \frac{{11\pi }}{4}} \right)\\
b)\tan \frac{{31\pi }}{6}\\
c)\sin ( - {1380^0})
\end{array}\)

Hướng dẫn:

- Sử dụng cung đối

- Biến đổi về góc nhỏ (dựa vào chu kỳ của \(\cos \alpha \) là \(\,2\pi \))

- Sử dụng cung bù

\(\begin{array}{l}
a)\cos \left( { - \frac{{11\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{{11\pi }}{4} = \cos \left( {2\pi  + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{4}\\
 = \cos \left( {\pi  - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \cos \frac{\pi }{4} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
b)\tan \frac{{31\pi }}{6} = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}\left( {4\pi  + \frac{{7\pi }}{6}} \right) = \tan \frac{{7\pi }}{6}\\
 = \tan \left( {\pi  + \frac{\pi }{6}} \right) = \tan \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
c)\,\,\,\,\sin ( - {1380^0}) =  - \sin ({1380^0}) =  - \sin ({4.360^0} - {60^0})\\
 =  - \sin ( - {60^0}) = \,\,\,\,\,\sin {60^0} = \frac{1}{2}
\end{array}\)

Trong phạm vi bài học Chúng tôi chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về giá trị lượng giác của một cung và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến giá trị lượng giác của một cung.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Biểu thức \({\sin ^2}x.{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + 3{\cos ^2}x\) không phụ thuộc vào x và có giá trị bằng:

  • A. 6
  • B. 5
  • C. 3
  • D. 4

• Câu 2:

  Giá trị của \(M = {\cos ^2}{15^0} + {\cos ^2}{25^0} + {\cos ^2}{35^0} + {\cos ^2}{45^0} + {\cos ^2}{105^0} + {\cos ^2}{115^0} + {\cos ^2}{125^0}\) là:

  • A. M=4
  • B. M=7/2
  • C. M=1/2
  • D. \(M = 3 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

• Câu 3:

  Cho \({\rm{cos}}\alpha  =  - \frac{2}{5}\,\,\,\left( {\pi  < \alpha  < \frac{{2\pi }}{3}} \right)\). Khi đó \(\tan \alpha \) bằng: 

  • A. \(\frac{{\sqrt {21} }}{5}\)
  • B. \(\frac{-{\sqrt {21} }}{2}\)
  • C. \(\frac{-{\sqrt {21} }}{5}\)
  • D. \(\frac{{\sqrt {21} }}{3}\)

Câu 7- Câu 18: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 25 trang 205 SGK Toán 10 NC

Bài tập 26 trang 205 SGK Toán 10 NC

Bài tập 27 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 28 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 30 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 31 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 32 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 33 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 34 trang 207 SGK Toán 10 NC

Bài tập 35 trang 207 SGK Toán 10 NC

Bài tập 36 trang 207 SGK Toán 10 NC

Bài tập 37 trang 207 SGK Toán 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.