Bài tập SGK Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài tập 1 trang 132 SGK Đại số & Giải tích 11

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 4}{lim}\frac{x+1}{3x-2}$;

b) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2-5x^2}{x^2+3}$.

Bài tập 2 trang 132 SGK Đại số & Giải tích 11

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{x}+1;& x\ge 0\\ 2x;& x<0\end{array}$

và các dãy số $(u_n)$ với  $u_n=\frac{1}{n}$, $(v_n)$ với $v_n=-\frac{1}{n}$.

Tính $lim{u}_n,lim{v}_n,limf(u_n)$và $lim(v_n).$

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x → 0 ?

Bài tập 3 trang 132 SGK Đại số & Giải tích 11

Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -3}{lim}\frac{x^2-1}{x+1}$;

b) $\underset{x\to -2}{lim}\frac{4-x^2}{x+2}$;

c) $\underset{x\to 6}{lim}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}$;

d) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x-6}{4-x}$;

e) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{17}{x^2+1}$;

f) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-2x^2+x-1}{3+x}$.

Bài tập 4 trang 132 SGK Đại số & Giải tích 11

Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2}{lim}\frac{3x-5}{(x-2{)}^2}$;

b) $\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{2x-7}{x-1}$;

c) $\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{2x-7}{x-1}$.

Bài tập 5 trang 133 SGK Đại số & Giải tích 11

Cho hàm số  $f(x)=\frac{x+2}{x^2-9}$ có đồ thị như hình dưới đây:

a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi $x\to -\mathrm{\infty }$

$x\to 3^{-}$ và $x\to 3^{+}$.

b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ với f(x) được xét trên khoảng (-3; -3),

$\underset{x\to 3^{-}}{lim}f(x)$ với f(x) được xét trên khoảng (-3,3),

$\underset{x\to -3^{+}}{lim}f(x)$ với f(x) được xét trên khoảng (-3; 3).

Bài tập 6 trang 133 SGK Đại số & Giải tích 11

Tính:

a) $\underset{+\mathrm{\infty }}{lim}(x^4-x^2+x-1)$ ;

b) $\underset{-\mathrm{\infty }}{lim}(-2x^3+3x^2-5)$;

c) $\underset{-\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2-2x+5}$

d) $\underset{+\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{5-2x}$

Bài tập 7 trang 133 SGK Đại số & Giải tích 11

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d' lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A'B' của nó tới quang tâm O của thấu kính. Công thức thấu kính là $\frac{1}{d}+\frac{1}{d^{\prime }}=\frac{1}{f}.$

a) Tìm biểu thức xác định hàm số d' = f(d).

b) Tìm $\underset{d\to f^{+}}{lim}\phi (d)$, $\underset{d\to f^{-}}{lim}\phi (d)$ và $\underset{d\to +\mathrm{\infty }}{lim}\phi (d)$. Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.

Bài tập 4.18 trang 165 SBT Toán 11

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn

a) $\underset{x\to 5}{lim}\frac{x+3}{3-x}$

b) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3+1}{x^2+1}$

Bài tập 4.19 trang 165 SBT Toán 11

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2,x\ge 0\\ x^2-1,x<0\end{array}$

a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi x → 0

b) Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên.

Bài tập 4.20 trang 165 SBT Toán 11

a) Chứng minh rằng hàm số y = sin x không có giới hạn khi $x\to +\mathrm{\infty }$$.$

b) Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a).

Bài tập 4.21 trang 165 SBT Toán 11

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cùng xác định trên khoảng $(-\mathrm{\infty };a)$. Dùng định nghĩa chứng minh rằng nếu $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$ và $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=M$ thì $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x).g(x)=L.M$.

Bài tập 4.22 trang 165 SBT Toán 11

Tìm giới hạn của các hàm số sau

a) $f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x-1}$ khi $x\to 3$

b) $h(x)=\frac{2x^3+15}{{(x+2)}^2}$ khi $x\to -2$$\mathrm{}$

c) $k(x)=\sqrt{4x^2-x+1}$ khi $x\to -\mathrm{\infty }$

d) $h(x)=\frac{x-15}{x+2}$ khi $x\to -2^{+}$ và $x\to -2^{-}$