Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên K.

• Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến (tăng) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\).
• Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến (giảm) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\).

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

• Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\).
• Nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\).

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

• Nếu \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) đồng biến trên K.
• Nếu \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) nghịch biến trên K.
• Nếu \(f'(x)=0\) với mọi \(x\in K\) thì \(f(x)\) là hàm hằng trên K.

• Bước 1: Tìm tập xác định
• Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
• Bước 3: Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
• Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 1:

Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)

b) \(y=x^4-2x^2-1\)

c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

Lời giải:

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)

• Xét hàm số: \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7\)
  • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
  • \(y'=3x^2-6x+3\)
  • \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
• Bảng biến thiên:

• Kết luận: Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

b) \(y=x^4-2x^2-1\)

• Xét hàm số \(y=x^4-2x^2-1\)
  • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
  • \(y'=4x^3-4x\)
  • \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
• Bảng biến thiên:

• Kết luận:
  • Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
  • Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( {- \infty;-1 } \right)\) và \((0;1).\)

c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

• Xét hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\).
  • TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
  • \(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\forall \ne 1\)
• Bảng biến thiên:

• Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( { 1;+ \infty } \right)\).

Ví dụ 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải:

• Xét hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\)
  • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
  • \(y' = 3{x^2} + 6x + m\)
• Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' \ge 0,\forall x \in\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' \le 0\\ a = 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 9 - 3m < 0 \Leftrightarrow m \ge 3\).
• Kết luận: với \(m\geq 3\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Ví dụ 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = 2x^3 - 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\) đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\).

Lời giải:

• Xét hàm số \(y = 2x^3 - 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\).
  • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
  • \(y' = 6{x^2} - 6(2m + 1)x + 6m(m + 1)\)
  • \(\Delta = {(2m + 1)^2} - 4({m^2} + m) = 1 > 0\)
  • \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m\\ x = m + 1 \end{array} \right.\) 
• Do \(m

• Hàm số đồng biến trong các khoảng \(( - \infty ;m),\,\,(m + 1; + \infty )\).
• Kết luận: Do đó hàm số đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\) khi \(m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1.\)

Trong phạm vi bài học Chúng tôi chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về tính đơn điệu của hàm số. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức,....các em cần tìm hiểu thêm.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho hàm số \(y = {x^2}(3 - x).\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

  • A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-\infty ;0)\)  
  • B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\)
  • C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  \((-\infty;3)\) 
  • D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((0;2)\)

• Câu 2:

  Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 1} .\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

  • A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\)
  • B. Hàm số đồng biến trên  \((-\infty ;+\infty )\)
  • C.  Hàm số đồng biến trên khoảng \((1 ;+\infty )\)
  • D.  Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ;0)\)

• Câu 3:

  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + 3x + 4\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

  • A. \(- 2 \le m \le 2\)
  • B. \(- 3 \le m \le 3\)
  • C. \(m \ge 3\) 
  • D. \(m \le - 3\)

• Câu 4:

  Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - mx - 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\)  

  • A. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)  
  • B. \(\left[ {1; + \infty } \right)\)
  • C. \(\left[ { - 1;1} \right]\) 
  • D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\)

• Câu 5:

  Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

  • A. \(m \in ( - \infty ;1) \cup (2; + \infty )\)
  • B. \(m \in \left[ {1; + \infty } \right)\)
  • C. \(m \in \left( { - 1;2} \right)\)
  • D. \(m \in \left[ {1;2} \right)\)

• Câu 6:

  Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3{{\rm{x}}^2} - 2\) là:

  • A. \((1;2)\)
  • B. \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
  • C. [1;2]
  • D. [-1;2)

• Câu 7:

  Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{{\rm{x}}^2} + x + 1\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

  • A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3};1} \right)\)
  • B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\)
  • C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)
  • D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3};1} \right)\)

• Câu 8:

  Hàm số \(y = 2{{\rm{x}}^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 1\) nghịch biến trên khoảng (hoặc các khoảng) nào sau đây:

  • A. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
  • B. (-1;0)
  • C. (0;1)
  • D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\)

Câu 9- Câu 23: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1.15 trang 9 SBT Toán 12

Bài tập 1.16 trang 9 SBT Toán 12

Bài tập 1 trang 7 SGK Toán 12 NC

Bài tập 2 trang 7 SGK Toán 12 NC

Bài tập 3 trang 8 SGK Toán 12 NC

Bài tập 4 trang 8 SGK Toán 12 NC

Bài tập 5 trang 8 SGK Toán 12 NC

Bài tập 6 trang 8 SGK Toán 12 NC

Bài tập 7 trang 8 SGK Toán 12 NC

Bài tập 8 trang 8 SGK Toán 12 NC

Bài tập 9 trang 9 SGK Toán 12 NC

Bài tập 10 trang 9 SGK Toán 12 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.