Bài 4: Đường tiệm cận

a) Định nghĩa

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

• \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = b\)
•  \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = b\)

b) Chú ý

• Điều kiện để đồ thị hàm số \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\)   có tiệm cận ngang là bậc của đa thức P(x) bé hơn hoặc bằng bậc của đa thức Q(x).
• Tổng quát: Xét hàm số \(y = \frac{a_nx^n + ... + a_0}{b_mx^m + ... + b_0} \ \ \ m, n \in N; a_n\neq 0; b_m\neq 0\). 
  • Điều kiện để hàm số có tiệm cận ngang là \(n\leq m.\)
  • Nếu \(n=m\): tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a_n}{b_m}\)
  • Nếu \(n

a) Định nghĩa

Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

• \(\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty\)
• \(\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty\)

b) Chú ý

• Đường thẳng \(x=a\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị \(y = f(x)\) thì a không thuộc tập xác định của \(f(x)\).
• Đối với hàm phân thức \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\) thì a là nghiệm Q(x)=0.

• Ví dụ 1:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).

Lời giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}\)

Ta có: 

​\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = 2 \end{array}\)

Vậy đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = + \infty \end{array}\)

Vậy đường thẳng x=-2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).

• Ví dụ 2:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}.\)

Lời giải: 

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{1 \right\}\)​

Ta có:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \end{array}\)

Vậy đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \end{array}\)

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

• Ví dụ 3:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

Lời giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}\)​

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = - 1\)

Suy ra đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = 1\)

Suy ra đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = - \infty\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + \infty\)

Suy ra đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

• Ví dụ 4:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}}\).

Lời giải: 

Ta có: \(y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\ y \ge 1\\ {x^2} + {(y - 1)^2} = 1 \end{array} \right.\)

Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm I(0;1) bán kính R=1.

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Để tìm được Tiệm cận đòi hỏi đầu tiên các em cần ôn lại bài Giới hạn hàm số đã được học ở lớp 11.

Để ôn luyện bài tập tốt hơn, xin mời các em cùng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 4

• Câu 1:

  Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \((2;+\infty )\) và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A. Đường thẳng y =1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x).
  • B. Đường thẳng y =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x).
  • C. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x).
  • D. Đường thẳng x =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x).

• Câu 2:

  Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{2x - 1}}?\)

  • A. \(y = 1.\)
  • B. \(y = \frac{3}{2}.\)
  • C. \(y = \frac{1}{2}.\)
  • D. \(y = \frac{1}{3}.\)

• Câu 3:

  Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 2} }}.\)  Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

  • A. 1
  • B. 3
  • C. 5
  • D. 6

• Câu 4:

  Tìm m để đồ thị hàm số \(y=\frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) có tiệm cận đứng.

  • A. \(m \notin \left\{ { - 1;1} \right\}\)
  • B. \(m\neq 1\)
  • C. \(m\neq -1\) 
  • D. Không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 5- Câu 12: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 30 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 30 SGK Giải tích 12

Bài tập 1.47 trang 24 SBT Toán 12

Bài tập 1.48 trang 24 SBT Toán 12

Bài tập 1.49 trang 24 SBT Toán 12

Bài tập 1.50 trang 25 SBT Toán 12

Bài tập 1.51 trang 25 SBT Toán 12

Bài tập 1.52 trang 25 SBT Toán 12

Bài tập 1.53 trang 25 SBT Toán 12

Bài tập 1.54 trang 25 SBT Toán 12

Bài tập 1.55 trang 25 SBT Toán 12

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm giải đáp cho các em.