Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

a) Sơ đồ chung các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=f(x)\):

• Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
• Bước 2: Khảo sát sự biến thiên: 
  • Xét chiều biến thiên của hàm số:
    •  Tính đạo hàm \(f'(x)\). 
    • Tìm các điểm mà tại đó \(f'(x)=0\) hoặc không xác định.
    •  Xét dấu đạo hàm \(f'(x)\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
  • Tìm cực trị của hàm số.
  • Tính các giới hạn \(\lim_{x\rightarrow +\infty }y,\lim_{x\rightarrow -\infty }y\) và các giới hạn có kết quả là vô cực (\(= \pm \infty\)), tìm các đường tiệm cận (nếu có)
• Bước 3: Vẽ đồ thị
  • Xác định các điểm đặc biệt: giao với Ox, Oy điểm có tọa độ nguyên.
  • Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).

b) Chú ý

• Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm \(I(x_0,f(x_0))\) với \(x_0\) là nghiệm phương trình \(f''(x_0)=0\) làm tâm đối xứng.
• Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
• Đồ thị hàm số lẻ nhận \(O(0;0)\) làm tâm đối xứng.
• Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng.

a) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\)

b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương: \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)\)

c) Các dạng đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất: \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\;(c \ne 0,\;ad - bc \ne 0)\)

Ví dụ 1:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

Lời giải:

• Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
• \(y'=3x^2-6x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)
• Bảng biến thiên: 

• Vậy:
  • Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
  • Hàm số nghịch biến trên \((0;2).\)
  • Hàm số đạt cực đại tại x=0; giá trị cực đại là y=2.
  • Hàm số đạt cực tiểu tại x=2; giá trị cực tiểu là y=-2.
• \(y''=6x-6\)
  • ​\(y'' = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 0\)
  • Vậy đồ thị hàm số nhận điểm I(1;0) làm tâm đối xứng.
• Cho: \(x = - 1 \Rightarrow y = - 2;x = 3 \Rightarrow y = 2\)
• Đồ thị hàm số:

Ví dụ 2:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\).

Lời giải:

• Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
• \(y' = - 4{x^3} + 4x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\)

•  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)
• Bảng biến thiên:

• Vậy:
  • Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)
  • Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
  • Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và x=1; giá trị cực đại y=2.
  • Hàm số đạt cực tiểu tại x=0; giá trị cực tiểu y=1.
• Đồ thị hàm số nhậc trục Oy là trục đối xứng.

\(\begin{array}{l} y = 0 \Leftrightarrow - {x^4} + 2{x^2} + 1 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 1 + \sqrt 2 \\ {x^2} = 1 - \sqrt 2 (L) \end{array} \right. \Rightarrow x = \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } \end{array}.\)

• Đồ thị hàm số:

Ví dụ 3:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

Lời giải: 

• Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
• \(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0\)
  • Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;1);(1;+\infty )\)
  • Hàm số không có cực trị.
• Ta có:
  •  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng.
  • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1\) ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=1 làm tiệm cận ngang.
• Bảng biến thiên: 

• Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;1) là tâm đối xứng.

Cho: \(x = 0 \Rightarrow y = - 1;y = 0 \Rightarrow x = - 1\).

• Đồ thị hàm số:

Trong phạm vi bài học Chúng tôi chỉ giới thiệu đến các em các hình dạng cũng như bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số các hàm số phổ biến trong chương trình phổ thông như hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phương và hàm số phân thức bậc nhất/ bậc nhất (hàm nhất biến).

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho hàm số y= f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) và 

  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A. Đồ thị của hàm số y = f(x) không có tiệm cận ngang.
  • B. Đồ thị của hàm số y = f(x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0.
  • C.  Đồ thị của hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành
  • D. ​Đồ thị của hàm số y = f(x) có một tiệm cận ngang là trục hoành.

• Câu 2:

  Cho hàm số \(y=(x)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left [ -2;2 \right ]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?

  

  • A. x=-2
  • B. x=-1
  • C. x=1
  • D. x=2

• Câu 3:

  Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

   

  

  • A.  \(y = - {x^3} + 3x + 2\)
  • B.  \(y = {x^3} + 3x + 2\)
  • C. \(y = {x^3} - 3x + 2\)
  • D.  \(y = - {x^3} - 3x + 2\)

• Câu 4:

  Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình bên. Hỏi \(f(x)\) có bao nhiêu tiệm cận ngang?

  

  • A. 0
  • B. 1
  • C. 3
  • D. 2

• Câu 5:

  Xác định a,b để hàm số \(y = \frac{{a - x}}{{x + b}}\) có đồ thị như hình vẽ:

  

  • A. a=2; b=1
  • B. a=1; b=2
  • C. a=-1; b=2
  • D. a=-2; b=-1

Câu 6 - Câu 15: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 55 trang 50 SGK Toán 12 NC

Bài tập 56 trang 50 SGK Toán 12 NC

Bài tập 57 trang 55 SGK Toán 12 NC

Bài tập 58 trang 56 SGK Toán 12 NC

Bài tập 59 trang 56 SGK Toán 12 NC

Bài tập 60 trang 56 SGK Toán 12 NC

Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC

Bài tập 62 trang 57 SGK Toán 12 NC

Bài tập 63 trang 57 SGK Toán 12 NC

Bài tập 64 trang 57 SGK Toán 12 NC

Bài tập 65 trang 58 SGK Toán 12 NC

Bài tập 66 trang 58 SGK Toán 12 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.