Bài tập SGK Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài tập 1 trang 9 SGK Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) $y=4+3x-x^2$.                                    

b) $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2-7x-2$.

c) $y=x^4-2x^2+3$.                               

d) $y=-x^3+x^2-5$.

Bài tập 2 trang 10 SGK Giải tích 12

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) $y=\frac{3x+1}{1-x}$.

b) $y=\frac{x^2-2x}{1-x}$.

c) $y=\sqrt{x^2-x-20}$.

d) $y=\frac{2x}{x^2-9}$.

Bài tập 3 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$ đồng biến trên khoảng (-1;1) và nghịch biến trên các khoảng $(-\mathrm{\infty };-1)$ và $(1;+\mathrm{\infty })$.

Bài tập 4 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{2x-x^2}$ đồng biến trên khoảng $(0;1)$ và nghịch biến trên các khoảng $(1;2)$.

Bài tập 5 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)  $\tan x>x(0<x<\frac{\pi }{2})$                              

b) $\tan x>x+\frac{x^3}{3}(0<x<\frac{\pi }{2})$

Bài tập 4 trang 8 SGK Giải tích 12 nâng cao

Với các giá trị nào của a hàm số y = ax - x³ nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

Bài tập 5 trang 8 SGK Giải tích 12 Nâng cao

​​​​​Tìm các giá trị của tham số a để hàm số: $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2+4x+3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Bài tập 7 trang 8 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng hàm số: f(x) = cos2x - 2x + 3 nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Bài tập 8 trang 8 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $\sin x<x$ với mọi x > 0, $\sin x>x$ với mọi x < 0.

b) $\cos x>1-\frac{x^2}{2}$ với mọi $x\ne 0$

c) $\sin x>x-\frac{x^3}{6}$ với mọi x > 0; 

$\sin x<x-\frac{x^3}{6}$ với mọi x < 0

Bài tập 9 trang 9 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng

$sinx+tanx>2x$ với mọi $x\in (0;\frac{\pi }{2})$​

Bài tập 10 trang 9 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 ước tính bởi công thức $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$(f(x) được tính bằng nghìn người)

a) Tính số dân của thị trấn vào đầu năm 1980 và đầu năm 1995

b) Xem f là một hàm số xác định trên nữa khoảng $[0;+\mathrm{\infty })$. Tính f'(t) và xét chiều biến thiên của f trên nữa khoảng $[0;+\mathrm{\infty })$.

c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dần số cảu thị trấn (tính bằng nghìn người/ năm)

- Tính tốc độ tăng dân số vào đầu năm 1990 của thị trấn

- Tính tốc độ tăng dân số được dự kiến vào năm 2008.

- Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người/ năm.

Bài tập 1.1 trang 7 SBT Toán 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y=3x^2-8x^3$;

b) $y=16x+2x^2-\frac{16}{3}{x}^3-x^4$;

c) $y=x^3-6x^2+9x$;

d) $y=x^4+8x^2+5$