38 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TOÁN 11 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1: Tìm a, b để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} & khi\,x \ge 0\\ ax + b & khi\,x < 0 \end{array} \right.\) có đạo hàm tại điểm x = 0.
A. \(\left\{ \begin{array}{l} a = - 11\\ b = 11 \end{array} \right.\).
B. \(\left\{ \begin{array}{l} a = - 10\\ b = 10 \end{array} \right.\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l} a = - 12\\ b = 12 \end{array} \right.\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = 1 \end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Trước tiên hàm số phải liên tục tại x = 0
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1 = f(0),\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = b \Rightarrow b = 1\)
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = - 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} a =a \)
Hàm số có đạo hàm tại \(x = 0 \Leftrightarrow a = - 1\)
Câu 2: Tìm để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} a{x^2} + bx + 1\\ a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in }}x + b\cos x \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} khi\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge 0}&{} \end{array}\\ khi\begin{array}{*{20}{c}} {x < 0}&{} \end{array} \end{array}\) có đạo hàm tại điểm x0 = 0
A. a = 1; b = 1.
B. a = -1; b = 1.
C. a = -1; b = -1.
D. a = 0; b = 1.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: f(0) = 1
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (a{x^2} + bx + 1) = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in }}x + b\cos x) = b \end{array}\)
Để hàm số liên tục thì b = 1
\(\begin{array}{l} f'({0^ + }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{a{x^2} + x + 1 - 1}}{x} = 1\\ f'({0^ - }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + b\cos x - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2a\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\cos \frac{x}{2}} \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \sin \frac{x}{2} = a \end{array}\)
Để tồn tại \(f'(0) \Rightarrow f'({0^ + }) = f'({0^ - }) \Leftrightarrow a = 1\)
Giới hạn lượng giác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{x} = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{f(x) \to 0} \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inf(x)}}}}{{f(x)}} = 1\)
Câu 3: Cho hàm số \(f(x) = x(x - 1)(x - 2)...(x - 1000)\). Tính f'(0).
A. 10000!.
B. 1000!.
C. 1100!.
D. 1110!.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
\(\begin{array}{l} f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(x - 1)(x - 2)...(x - 1000) - 0}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x - 1)(x - 2)...(x - 1000)\\ = ( - 1)( - 2)...( - 1000) = 1000! \end{array}\)
Câu 4: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} - \sqrt {8{x^2} + 4} }}{x}\\ 0 \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} khi\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne 0}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ {} \end{array}} \end{array}\\ khi\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}&{} \end{array} \end{array}\).Giá trị của f'(0) bằng:
A. \(\frac{1}{3}\).
B. \(-\frac{5}{3}\).
C. \(\frac{4}{3}\).
D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} - \sqrt {8{x^2} + 4} }}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} - 2 + 2 - \sqrt {8{x^2} + 4} }}{{{x^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{{4{x^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {4{x^2} + 8} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} + 4}} - \frac{{8{x^2}}}{{2 + \sqrt {8{x^2} + 4} }}} \right) = \frac{1}{3} - 2 = - \frac{5}{3} \end{array}\)
Câu 5: Với hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x\sin \frac{\pi }{x}\\ 0 \end{array} \right.\)\(\begin{array}{l} khi\begin{array}{*{20}{c}} {\,\,x \ne 0}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ {} \end{array}} \end{array}\\ khi\begin{array}{*{20}{c}} {\,\,x = 0}&{} \end{array} \end{array}\).Để tìm đạo hàm f'(x) = 0 một học sinh lập luận qua các bước như sau:
1. \(\left| {f(x)} \right| = \left| x \right|.\left| {\sin \frac{\pi }{x}} \right| \le \left| x \right|\).
2. Khi x → 0 thì |x| → 0 nên |f(x)| → 0 ⇒ f(x) → 0.
3.Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = f(0) = 0\) nên hàm số liên tục tại x = 0.
4. Từ f(x) liên tục tại x = 0 ⇒ f(x) có đạo hàm tại x = 0
Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:
A. Bước 1.
B. Bước 2.
C. Bước 3.
D. Bước 4.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Một hàm số liên tục tại x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \sin \frac{\pi }{x}\) không có giới hạn khi x → 0
Câu 6: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x\sin \frac{1}{{{x^2}}}\\ 0 \end{array} \right.\)\(\begin{array}{l} khi\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne 0}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ {} \end{array}} \end{array}\\ khi\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}&{} \end{array} \end{array}\).
(1) Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0.
(2) Hàm số f(x) không có đạo hàm tại điểm x = 0.
Trong các mệnh đề trên:
A. Chỉ (1) đúng.
B. Chỉ (2) đúng.
C. Cả (1), (2) đều đúng.
D. Cả (1), (2) đều sai.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: \( - \left| x \right| \le x.\sin \frac{1}{{{x^2}}} \le \left| x \right|\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( { - \left| x \right|} \right) \le \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\sin \frac{1}{{{x^2}}} \le \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| x \right| = 0 \\\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\sin \frac{1}{{{x^2}}} = 0 = f\left( 0 \right)\)
Vậy hàm số liên tục tại x = 0
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \lim \left( {\sin \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\)
Lấy dãy (xn): \({x_n} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{\pi }{2} + 2n\pi } }}\) có:
\(\begin{array}{l} \lim {x_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {\frac{\pi }{2} + 2n\pi } }} = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi } \right) = 1 \end{array}\)
Lấy dãy \(\left( {{x_n}^\prime } \right):{x_n}^\prime = \frac{1}{{\sqrt {\frac{\pi }{6} + 2\pi n} }} = \frac{1}{2}\), tương tự ta cũng có:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n}^\prime = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}^\prime } \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sin \left( {\frac{\pi }{6} + 2n\pi } \right) = \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin \frac{1}{{{x^2}}}\) không tồn tại
Câu 7: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} a{x^2} + bx\\ 2x - 1 \end{array} \right.\)\(\begin{array}{*{20}{c}} {khi}\\ {khi} \end{array}\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge 1}\\ {x < 1} \end{array}\).Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1
A. a = -1, b = 0.
B. a = -1, b = 1.
C. a = 1, b = 0.
D. a = 1, b = 1.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = a + b = f\left( 1 \right)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x - 1} \right) = 1 \end{array} \right. \Rightarrow a + b = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{a{x^2} + bx - \left( {a + b} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {a\left( {x + 1} \right) + b} \right] = 2a + b\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} - 1 - \left( {a + b} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 1 - 1}}{{x - 1}} = 2\)
Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} a + b = 1\\ 2a + b = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 0 \end{array} \right.\)
Câu 8: Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x + 1\,\,\,khi\,\,\,x \le 1\\ \sqrt {x - 1} + 3\,\,\,khi\,\,\,x > 1 \end{array} \right.\) là:
A. \(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\\ \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}\,\,\,khi\,\,\,x > 1 \end{array} \right.\).
B. \(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 2x + 1\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\\ \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\,\,\,khi\,\,\,x > 1 \end{array} \right.\).
C. \(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \le 1\\ \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}\,\,\,khi\,\,\,x > 1 \end{array} \right.\).
D. \(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\\ \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}\,\,\,khi\,\,\,x > 1 \end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Với \(x < 1:f'\left( x \right) = 2x + 1\)
Với \(x > 1:f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}\)
Với x = 1 ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{x - 1}} = + \infty \) nên không có đạo hàm tại x = 1
Vậy \(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\\ \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}\,\,\,khi\,\,\,x > 1 \end{array} \right.\)
{-- Để xem nội dung từ câu 9 đến câu 38 và đáp án của tài liệu các em vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}
Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu 38 bài tập trắc nghiệm về Tính đạo hàm của hàm số Toán 11 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Chúc các em học tốt!
