Xác định cảm ứng từ tổng hợp do hai dòng điện gây ra tại điểm M cách đều hai dây dẫn

a) Giả sử hai dây dẫn được đặt vuông góc với mặt phẳng hình vẽ, dòng I1 đi vào tại A, dòng I2 đi ra tại B.

Các dòng điện I1 và I2 gây ra tại M các véctơ cảm ứng từ B1 và B2 có phưong chiều như hình vẽ, có độ lớn:  \({B_1} = {B_2} = {2.10^{ - 7}}\frac{I}{x}\)

+ Cảm ứng từ tổng hợp tại M là \(\overrightarrow B = {\overrightarrow B _1} + {\overrightarrow B _2}\) có phương chiều như hình vẽ và có độ lớn:  

\(\begin{array}{l} B = {B_1}\cos \alpha + {B_2}\cos \alpha \\ = 2{B_1}\cos \alpha = {2.2.10^{ - 7}}\frac{I}{x}.\frac{a}{x}\\ = {4.10^{ - 7}}I.\frac{a}{{{x^2}}} \end{array}\)

→ Chọn A

b) Đặt  \(MH = y \Rightarrow {x^2} = {a^2} + {y^2} \ge {a^2} \Rightarrow B \le {4.10^{ - 7}}.\frac{a}{{{a^2}}} = {4.10^{ - 7}}\frac{I}{a}\)

+ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = 0 hay x = a, khi đó :

\({B_{\max }} = {4.10^{ - 7}}\frac{I}{a}\)

• Chọn đáp án B

Hướng dẫn

a) Giả sử hai dây dẫn được đặt vuông góc với mặt phẳng hình vẽ, dòng I1 đi vào tại A, dòng I2 đi vào tại B.

Các dòng điện I1 và I2 gây ra tại M các véc tơ cảm ứng từ \({\overrightarrow B _1}\) và \({\overrightarrow B _2}\) có phương chiều như hình vẽ, có độ lớn:

\({B_1} = {B_2} = {2.10^{ - 7}}\frac{I}{x} = {2.10^{ - 5}}T\)

Cảm ứng từ tổng hợp tại M là: \(\overrightarrow B = {\overrightarrow B _1} + {\overrightarrow B _2}\) có phương chiều như hình vẽ và có độ lớn:

 \(\begin{array}{l} B = {B_1}\cos \alpha + {B_2}\cos \alpha = 2{B_1}\cos \alpha \\ = 2{B_1}\frac{{\sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{d}{2}} \right)}^2}} }}{x} = 3,{2.10^ - }T \end{array}\)

→ Chọn D

b) Theo câu a) ta có:  

\(\begin{array}{l} {B_1} = {B_2} = {2.10^{ - 7}}\frac{I}{x}\\ \Leftrightarrow {B_1} = {B_1}\cos \alpha = {2.2.10^{ - 7}}.\frac{1}{x}\frac{{\sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{d}{2}} \right)}^2}} }}{x}\\ = {4.10^{ - 7}}\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{{{d^2}}}{{4{x^2}}}} \end{array}\)

B cực đại khi \(\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{{{d^2}}}{{4{x^2}}} = \frac{4}{{{d^2}}}.\frac{{{d^2}}}{{4{x^2}}}.\left( {1 - \frac{{{d^2}}}{{4{x^2}}}} \right)\) đạt cực đại.

+ Theo bất đẳng thức Cosi:  

\(\begin{array}{l} \frac{{{d^2}}}{{4{x^2}}}.\left( {1 - \frac{{{d^2}}}{{4{x^2}}}} \right) \le \left[ {\frac{{\frac{{{d^2}}}{{4{x^2}}} + \left( {1 - \frac{{{d^2}}}{{4{x^2}}}} \right)}}{2}} \right] = \frac{1}{4}\\ \Rightarrow \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{{{d^2}}}{{4{x^2}}} = \frac{4}{{{d^2}}}.\frac{{{d^2}}}{{4{x^2}}}.\left( {1 - \frac{{{d^2}}}{{4{x^2}}}} \right) \le \frac{4}{{{d^2}}}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{{d^2}}}\\ Hay\,\,\,B \le {4.10^{ - 7}}.\frac{1}{d} \end{array}\)

+ Dấu bằng xảy ra \(\frac{{{d^2}}}{{4{x^2}}} = 1 - \frac{{{d^2}}}{{4{x^2}}}\)  hay tương đương  \(x = \frac{d}{{\sqrt 2 }}\)

+ Thay số ta được:  \(x = \frac{d}{{\sqrt 2 }} = 8,5cm.\)

Khi đó  \({B_{\max }} = 3,{32.10^{ - 5}}T\)

→ Chọn A

Câu 3. Hai dây dẫn thẳng, rất dài, đặt song song, cách nhau 20 cm trong không khí, có hai dòng điện ngược chiều, có cường độ I1 = I2= 12 A chạy qua. Xác định cảm ứng từ tổng hợp do hai dòng điện này gây ra tại điểm M cách dây dẫn mang dòng I1 16 cm và cách dây dẫn mang dòng I2 12 cm.

A. 1,5. 10−5T.                            B. 2. 10−5T.                            

C. 2,5. 10−5T.                          D. 3,5. 10−5T.

Câu 4. Hai dây dẫn thẳng, rất dài, đặt song song, cách nhau 10 cm trong không khí, có hai dòng điện ngược chiều, có cường độ I1 = 6 A; I2 = 12 A chạy qua. Xác định cảm ứng từ tổng hợp do hai dòng điện này gây ra tại điểm M cách dây dẫn mang dòng 5 cm và cách dây dẫn mang dòng í2 một khoảng 15 cm

A. 2,4. 10−5T.                            B. 1,6. 10−5T.                         

C. 0,8. 10−5T.                          D. 4. 10−5T.

Câu 5. Hai dây dẫn thẳng, rất dài, đặt song song, cách nhau 10 cm trong không khí, có hai dòng điện cùng chiều, có cường độ I = 9A; I2= 16 A chạy qua. Xác định cảm ứng từ tổng hợp do hai dòng điện này gây ra tại điểm M cách dầy dẫn mang dòng I, 6 cm và cách dây dẫn mang dòng I2 8 cm.

A. 5. 10−5T.                             B. 3. 10−5T.                            

C. 4. 10−5T.                             D. 1. 10−5T.