TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN 12
Xin mời các em theo dõi video Hướng dẫn giải Giải đề thi học kì 1 Toán 12 Sở Bình Thuận để nắm các phương pháp làm bài cũng như ôn luyện kiến thức:
Để xem đầy đủ nội dung, các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập Chúng tôi tải file PDF tài liệu về máy.
I. CHƯƠNG 1: HÀM SỐ
1. Đạo hàm của hàm số
a) Các quy tắc
Cho \(u = u\left( x \right)\,\,;\,\,v = v\left( x \right)\,\,;\,\,C\,\,:\) là hằng số.
- \(\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v'\)
- \(\left( {u.v} \right)' = u'.v + v'.u\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {C.u} \right)^\prime } = C.u'\)
- \(\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}\,\,\,,\,\,\left( {v \ne 0} \right) \Rightarrow \,\,{\left( {\frac{C}{u}} \right)^\prime } = - \frac{{C.u'}}{{{u^2}}}\)
- Nếu \(y = f\left( u \right)\,,\,\,u = u\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow {y'_x} = {y'_u}.{u'_x}\).
- Các công thức:
- \({\left( C \right)^\prime } = 0\,\,\,\,\,;\,\,\,\,{\left( x \right)^\prime } = 1\)
- \({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n.{x^{n - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u'\,\,\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in \mathbb{N}\,\,,\,\,n \ge 2} \right)\)
- \({\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\,\,\,\,,\,\,\left( {x > 0} \right) \Rightarrow \,\,\,{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'\,}}{{2\sqrt u }}\,\,\,\,\,,\,\,\left( {u > 0} \right)\)
- \({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {\sin u} \right)^\prime } = u.'\cos u\)
- \({\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {\cos u} \right)^\prime } = - u'.\sin u\)
- \({\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {\tan u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\,\)
- \({\left( {\cot x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {\cot u} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\,\).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\)tại \(M\left( {{x_0}\,\,;\,\,{y_0}} \right)\), có phương trình là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
- Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) có hệ số góc là \(k\) thì ta gọi \({M_0}\left( {{x_0}\,\,;\,{y_0}} \right)\)là tiếp điểm \( \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = k\) (1)
- Giải phương trình (1) tìm \({x_0}\) suy ra \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)
- Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
c) Chú ý
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M\left( {{x_0}\,,\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là \(k = f'\left( {{x_0}} \right) = \tan \alpha \) Trong đó \( - 1\) là góc giữa chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến.
- Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau.
- Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng \( - 1\).
- Biết tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {{x_1}\,;\,{y_1}} \right)\):
- Viết phương trình tiếp tuyến của \(y = f\left( x \right)\) tại \({M_0}\left( {{x_0}\,\,;\,\,{y_0}} \right)\): \(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
- Vì tiếp tuyến đi qua \(A\left( {{x_1}\,;\,{y_1}} \right) \Rightarrow {y_1} = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {{x_1} - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\,\,\,\left( * \right)\)
- Giải phương trình(*) tìm \({x_0}\) thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến.
2. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
a) Định nghĩa
Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên K.
- Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến (tăng) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\).
- Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến (giảm) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\).
b) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:
- Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\).
- Nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\).
c) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:
- Nếu \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) đồng biến trên K.
- Nếu \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) nghịch biến trên K.
- Nếu \(f'(x)=0\) với mọi \(x\in K\) thì \(f(x)\) là hàm hằng trên K.
{--Xem đầy đủ nội dung ở phần xem Online hoặc tải về--}
Các em quan tâm có thể xem thêm:
- Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia 2018 Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ lần 1
- Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2018 Sở GD và ĐT Tuyên Quang
Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong các kì thi!