Ôn tập chương 5 Đạo hàm

Hình 1: Hệ thống kiến thức chương đạo hàm

BẢNG 1: CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM LỚP 11

Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 4\)                         b) \(y = \sin x - \cos x + \tan x\)

c) \(y = {x^4} + 2\sqrt x \)                                    d) \(y = \cot x - 3x + 2\)

Hướng dẫn:

a) \(y' = \left( {{x^3} - 2{x^2} + 3x + 4} \right)' = 3{x^2} - 4x + 3\)

b) \(y' = \left( {\sin x - \cos x + \tan x} \right)' = \cos x + \sin x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

c) \(y' = \left( {{x^4} + 2\sqrt x } \right)' = 4{x^3} + \frac{1}{{\sqrt x }}\)

d) \(y' = \left( {\cot x - 3x + 2} \right)' =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 3\)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số tại các điểm tương ứng 

a) \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 4x + 1\) tại \({x_0} =  - 1\)

b) \(y = \sin 2x + \cos x\) tại \({x_0} =  - \frac{\pi }{4}\)

c) \(y = \sqrt x  - 2x\) tại \({x_0} = 2\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}
a) y' = \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 4x + 1} \right)' =  - 3{x^2} + 6x - 4\\
 \Rightarrow y'\left( { - 1} \right) =  - 3 - 6 - 4 =  - 13
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
b) y' = \left( {\sin 2x + \cos x} \right)' = 2\cos 2x - \sin x\\
 \Rightarrow y'\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = 2\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) - \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
c) y' = \left( {\sqrt x  - 2x} \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }} - 2\\
 \Rightarrow y'\left( 2 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} - 2 = \frac{{1 - 4\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}
\end{array}\)

Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm số 

\(\begin{array}{l}
{\rm{a) }}y = \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}\\
{\rm{b) }}y = \sin \left( {2x + 1} \right) + \cos \left( {1 - x} \right)\\
{\rm{c) }}y = \sqrt {{x^2} + 4x + 1} \\
{\rm{d) }}y = \tan \left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn:

a) \({\rm{ }}y' = \left( {\frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

b) \(y' = \left( {\sin \left( {2x + 1} \right) + \cos \left( {1 - x} \right)} \right)' = 2\cos \left( {2x + 1} \right) + \sin \left( {1 - x} \right)\)

c) \(y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 4x + 1} } \right)' = \frac{{2x + 4}}{{2\sqrt {{x^2} + 4x + 1} }} = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 1} }}\)

\(\begin{array}{l}
d) y' = \left( {\tan \left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)} \right)' = \frac{{\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)'}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}}\\
 = \frac{{2x + \frac{1}{{\sqrt x }}}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{2x\sqrt x  + 1}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}}
\end{array}\)

Ví dụ 4: Chứng minh \(y' + 2{y^2} + 2 = 0\) với \(y = \cot 2x\)

Hướng dẫn:

Ta có \(y' =  - \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\)

Khi đó \(y' + 2{y^2} + 2 =  - \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}} + \frac{{2{{\cos }^2}2x}}{{{{\sin }^2}2x}} + 2 = \frac{{ - 2 + 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)}}{{{{\sin }^2}2x}} = 0\) (đpcm)

Trên đây, bài viết đã giới thiệu đến các em những nội dung kiến thức trọng tâm của chương V Đại số và Giải tích 11. Từ đó làm nền tảng để các em có thể giải được các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Ôn tập chương V - Toán 11 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - x + 5\) bằng biểu thức nào dưới đây?

  • A. -x²+x-1
  • B. -x²+2x-1
  • C. -x²+x+1
  • D. -x²+x+5

• Câu 2:

  Đạo hàm của hàm số f(t)=a³t⁴-2at²+3t-5a bằng biểu thức nào sau đây?

  • A. 4a³t³-4at+3
  • B. 3a² t⁴-2t²-5
  • C. 12a² t³-4at-2
  • D. 4a³t³-4at-5

• Câu 3:

  Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{3x + 1}}\) bằng biểu thức nào sau đây?

  • A. \(\frac{{ - 11}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}\)
  • B. \(\frac{7}{{\begin{array}{*{20}{l}}
    {{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}
    \end{array}}}\)
  • C. \(\frac{-7}{{\begin{array}{*{20}{l}}
    {{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}
    \end{array}}}\)
  • D. \(\frac{{  11}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}\)

• Câu 4:

   Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 4}}{{ - 2x + 1}}\) bằng biểu thức nào sau đây?

  • A. \(\frac{{ - 4{x^2} + 4x + 5}}{{ - 2x + 1}}\)
  • B. \(\frac{{ - 4{x^2} + 4x + 5}}{{{{\left( { - 2x + 1} \right)}^2}}}\)  
  • C. \(\frac{{ - 12{x^2} + 16x - 11}}{{{{\left( { - 2x + 1} \right)}^2}}}\)
  • D. \(\frac{{ - 6{x^2} + 7x + 1}}{{{{\left( { - 2x + 1} \right)}^2}}}\)

• Câu 5:

   Đạo hàm cuả hàm số \(y = \left( {\frac{3}{x} - 2x} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)\) bằng biểu thức nào sau đây?

  • A. \(\frac{{ - 3}}{{2x\sqrt x }} - 3\sqrt x  + \frac{{12}}{{{x^2}}} + 8\)
  • B. \(\frac{{ - 9}}{{2x\sqrt x }} - \sqrt x  + \frac{{12}}{{{x^2}}} + 8\)
  • C. \(\frac{{ - 3}}{{2x\sqrt x }} + 3\sqrt x  + \frac{{12}}{{{x^2}}} + 8\)
  • D. \(\frac{3}{{2x\sqrt x }} + 3\sqrt x  + \frac{{12}}{{{x^2}}} + 8\)

Câu 6- Câu 15: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Ôn tập chương V - Toán 11 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 176 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5.112 trang 217 SBT Toán 11

Bài tập 5.113 trang 217 SBT Toán 11

Bài tập 5.114 trang 217 SBT Toán 11

Bài tập 5.115 trang 217 SBT Toán 11

Bài tập 5.116 trang 217 SBT Toán 11

Bài tập 5.117 trang 217 SBT Toán 11

Bài tập 5.118 trang 217 SBT Toán 11

Bài tập 5.119 trang 218 SBT Toán 11

Bài tập 5.120 trang 218 SBT Toán 11

Bài tập 5.121 trang 218 SBT Toán 11

Bài tập 5.122 trang 218 SBT Toán 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.