Bài 5: Đạo hàm cấp hai

a) Đạo hàm cấp hai

Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\)

Khi đó \(y'=f'(x)\) xác định một hàm sô trên (a;b).

Nếu hàm số \(y'=f'(x)\) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=f(x)\) tại x.

Kí hiệu: \(y''\) hoặc \(f''(x).\)

b) Đạo hàm cấp n

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp \(n-1,\) kí hiệu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)(n \in \mathbb{N}, n\geq 4)\) và nếu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm câp n của \(y=f(x),\) kí hiệu \(y^{(n)}\) hoặc \(f^{(n)}(x).\)

\({f^{(n)}}(x) = {\rm{[}}{f^{(n - 1)}}(x){\rm{]}}'\)

Đạo hàm cấp hai \(f''(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động \(S=f(t)\) tại thời điểm t.

Ví dụ:

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 

a) \(f(x) = {(2x - 3)^5}.\)

b) \(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\).

c) \(f(x) = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 

\(f'(x) =\left [ \left ( 2x-3 \right )^5 \right ]'= 5.(2x - 3)'{(2x - 3)^4} = 10{(2x - 3)^4}.\)

\(f''(x) = \left[ {10{{\left( {2x - 3} \right)}^4}} \right]' = 10.4.(2x - 3)'(2x - 3) = 80{(2x - 3)^3}.\)

b) Ta có: 

\(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{x}\)

\(f'(x) = \left( {x + \frac{1}{x}} \right)' = 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)

\(f''(x) = \left[ {1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right]' = \frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}}.\)

c) Ta có: \(f'(x) = \left( {x\sqrt {1 + {x^2}} } \right)' = \sqrt {1 + {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.\)

\(\begin{array}{l} f''(x) = \left[ {\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right]' = \frac{{(2{x^2} + 1)'\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}}\\ = \frac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{4x({x^2} + 1) - x(2{x^2} + 1)}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}. \end{array}\)

Trong phạm vi bài học đã giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Đạo hàm cấp hai nói riêng và đạo hàm cấp cao nói chung. Bên cạnh đó còn có những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp tính đạo hàm cấp hai của hàm số.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^4} - 2{x^3} - 5x + \sin x\) bằng biểu thức nào sau đây?

  • A. 9x²-12x+sinx
  • B. 9x²-12x-sinx
  • C. 9x²-6x-sinx
  • D. 9x²-12x+cosx

• Câu 2:

  Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{1}{{2x - 3}}\) bằng biểu thức nào dưới đây?

  • A. \(\frac{8}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^3}}}\)
  • B. \(\frac{{ - 8}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\)
  • C. \(\frac{4}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\)
  • D. \(\frac{{ - 4}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\)

• Câu 3:

  Đạo hàm cấp hai của hàm số y=cosx.cos2x.cos3x bằng biểu thức nào dưới đây?

  • A. cos2x+ 4cos4x +9cos6x
  • B. –cos2x -4cos4x – 9cos6x
  • C. –cosx-4cos2x-9cos3x
  • D. \( - \frac{1}{4}{\rm{cos}}2x + \frac{1}{4}{\rm{cos}}4x - \frac{1}{4}{\rm{cos}}6x\)

• Câu 4:

  Một chất điểm chuyển động thẳng, quãng đường đi được xác định bởi phương trình S=t³-4t²-2t+1 , t tính bằng giây (s), S tính bằng mét. Gia tốc (m/s²) chuyển động của chất điểm khi t=3s là:

  • A. 10
  • B. 8
  • C. 18
  • D. 1

• Câu 5:

  Đạo hầm cấp hai của hàm số y=cos2x là:

  • A. -4cos2x
  • B. 4cos2x
  • C. -2sin2x
  • D. -4sin2x

Câu 6- Câu 15: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 5.96 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.97 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.98 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.99 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.101 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 42 trang 216 SGK Toán 11 NC

Bài tập 43 trang 216 SGK Toán 11 NC

Bài tập 44 trang 216 SGK Toán 11 NC

Bài tập 45 trang 219 SGK Toán 11 NC

Bài tập 46 trang 219 SGK Toán 11 NC

Bài tập 47 trang 219 SGK Toán 11 NC

Bài tập 48 trang 219 SGK Toán 11 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.