Ôn tập cuối năm Phần Đại số và Giải tích

1. Phần đại số

a) Hàm số lượng giác

• Hàm số lượng giác: Hàm số sin, hàm số cos, hàm số tang, hàm số cotang.
• Phương trình lượng giác:
  • Phương trình lượng giác cơ bản theo sin, cos, tan, cot.
  • Các dạng phương trình lượng giác thường gặp:
    • Phương trình lượng giác đưa về dạng đại số.
    • Phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
    • Phương trình chứa tổng (hay hiêu) và tích của sin và cos.
    • Phương trình đẳng cấp đối với sin và cos.

b) Tổ hợp và xác suất

• Quy tắc đếm: Quy tắc nhân, quy tắc cộng.
• Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
• Nhị thức Newton.
• Lý thuyết cơ bản về xác suất:
  • Phép thử và biến cố.
  • Xác suất của biến cố.

c) Dãy số

• Phương pháp quy nạp toán học.
• Dãy số: Khái niệm dãy số, cách cho một dãy số, dãy số tăng-dãy số giảm-dãy số bị chặn.
• Cấp số cộng: Khái niệm, số hạng tổng quát, tính chất, tổng n số hạng đầu.
• Cấp số nhân: Khái niệm, số hạng tổng quát, tính chất, tổng n số hạng đầu.

2. Phần Giải tích

a) Giới hạn

• Giới hạn của dãy số: 
  • Giới hạn hữu han.
  • Giới hạn vô cực,.
  • Các giới hạn đặc biệt.
  • Định lý về giới hạn hữu hạn.
  • Liên hệ giữa giới hạn hữu han và vô cực.
  • Cấp số nhân lùi vô hạn.
• Giới hạn của hàm số:
  • Giới hạn hữu hạn.
  • Giới hạn vô cực.
  • Các giới hạn đặc biệt.
  • Các định lý về giới hạn hữu hạn.
  • Các quy tắc tính giới hạn vô cực.
• Hàm số liên tục:
  • Hàm số liên tục.
  • Các định lý liên quan.

b) Đạo hàm

• Các lý thuyết về đạo hàm:
  • Định nghĩa.
  • Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa.
  • Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm.
  • Ý nghĩa hình học của đạo hàm.
  • Ý nghĩa vật lý của đạo hàm.
• Các quy tắc tính đạo hàm:
  • Các quy tắc tính đạo hàm.
  • Các công thức tính đạo hàm hàm số cơ bản.
  • Đạo hàm của hàm số lượng giác.
• Vi phân.

Bài tập 1: 

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{2n - 1}}{{3n + 2}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\lim \frac{{2n - 1}}{{3n + 2}} = \lim \frac{{n(2 - \frac{1}{n})}}{{n(3 + \frac{2}{n})}}\)\(= \lim \frac{{2 - \frac{1}{n}}}{{3 + \frac{2}{n}}}= \frac{2}{3}.\)

b)

 \(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}(1 + \frac{1}{{{x^2}}})} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x.\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x(2 - \frac{1}{x})}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{x}}} = - \frac{1}{2}. \end{array}\)

Bài tập 2: 

a) Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{x - 2}}{\rm{ ,khi }}x \ne 2\\ 2m - 1{\rm{ ,khi }}x = 2. \end{array} \right.\)

Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại x=2.

b) Chứng minh rằng phương trình  \((5{m^4} + 1){x^3} + (1 - 4{m^2}){x^2} + (1 - 2{m^2})x - 1 = 0\) luôn có nghiệm x trong khoảng (0;1) với mọi giá trị m thuộc \(\mathbb{R}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(f(2)=2m-1.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(2x + 1)(x - 2)}}{{x - 2}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (2x + 1) = 5.\)

Để f(x) liên tục tại x=2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)\)\(\Leftrightarrow 2m - 1 = 5 \Leftrightarrow m = 3.\)

Vậy m=3 là giá trị cần tìm.

b) Đặt \(f(x) = (5{m^4} + 1){x^3} + (1 - 4{m^2}){x^2} + (1 - 2{m^2})x - 1\)

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên f(x) liên tục trên đoạn [0;1].

Ta có: \(f(0) = - 1 < 0;\)\(f(1) = 5{m^4} - 6{m^2} + 2\)

Mà: \(5{m^4} - 6{m^2} + 2 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\) (tam thức bậc hai theo \(t=m^2\)).

Do đó: \(f(0).f(1) < 0,\forall m \in \mathbb{R}.\)

Bài tập 3: 

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau: \(y = x.\cos x\) và \(y = \sqrt {{x^2} - 3x} .\)

b) Cho hàm số \(y = {x^3} - 5x + 3\)có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7. 

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = {\left( {x.\cos x} \right)^'} = {(x)^'}.\cos x + x.{(\cos x)^'}= \cos x - x.\sin x.\)

\(y' = \left( {\sqrt {{x^2} - 3x} } \right)' = \frac{{({x^2} - 3x)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 3x} }}\)\(= \frac{{2x - 3}}{{2\sqrt {{x^2} - 3x} }}\).

b) Gọi d là tiếp tuyến thỏa đề,\(M({x_0};{y_0})\) là tiếp điểm của d và (C).

Suy ra phương trình tiếp tuyến d có dạng: \(y = y'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}.\)

Theo đề bài hệ số góc bằng 7 nên ta có:

\(y'({x_0}) = 7 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 5 = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 2\\ {x_0} = - 2 \end{array} \right.\)

+ Với \(x_0=2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x - 13.\)

+ Với \(x_0=-2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x + 19.\)

Bài tập 4: 

Cho hàm số \(y = \sin 2x.\) Chứng minh \(y'\,'\,\, + \,\,4y = 0\).

Hướng dẫn giải:

\(y' = {(\sin 2x)^'} = \cos 2x.(2x)'=2. \cos 2x.\)

\(y'' = (2.\cos 2x)' = 2.( - \sin 2x).(2x)' = - 4\sin 2x.\)

Suy ra: \(y'' + 4y = - 4.\sin 2x + 4.\sin 2x = 0\) (Điều phải chứng minh).

Bài viết trên đây đã thống kê và định hình lại chương trình Đại số và Giải tích 11. Để cũng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải bài tập, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 với những câu hỏi củng cố bám sát chương trình. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi - đáp cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.