Ôn tập chương 3 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Kiến thức cần nhớ 

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua M0(x0;y0) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {{u_1};{u_2}} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta\):
                                         \(\left\{ \begin{array}{l}
                                           x = {x_0} + t{u_1}\\
                                           y = {y_0} + t{u_2}
                                           \end{array} \right.\)

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua M0(x0;y0) và nhận làm vectơ pháp tuyến thì phương trình tổng quát của \(\Delta\) là:

                             \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

\({\rm{cos}}\widehat {\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)} = c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

  \(d\left( {{M_0},\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R. Phương trình chính tắc của đường tròn (C) là:

\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác là

AB: x – 3y – 1 = 0, BC: x + 3y + 7 = 0, CA: 5x – 2y + 1 = 0

Hãy viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC

Hướng dẫn:

Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 3y - 1 = 0\\
5x - 2y + 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - \frac{5}{{13}}; - \frac{6}{{13}}} \right)\)

Vì \(AH \bot BC\) nên đường thẳng AH có VTPT là \(\overrightarrow {{u_{BC}}}  = \left( {3; - 1} \right)\)

Do đó phương trình đường cao AH của tam giác ABC là:

\(3\left( {x + \frac{5}{{13}}} \right) - \left( {y + \frac{6}{{13}}} \right) = 0 \Leftrightarrow 39x - 13y + 9 = 0\)

Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A(7; 4) và phương trình hai cạnh: 7x – 3y + 5 = 0, 3x + 7y – 1 = 0. 

Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

Hướng dẫn:

Ta kiểm tra thấy đỉnh A(7; 4) không nằm trên các đường thẳng d₁: 7x-3y+5=0, d₂: 3x+7y-1=0 nên đây là các cạnh CB, CD. Ta có

\(\begin{array}{l}
{S_{ABCD}} = AB.AD = d\left( {A,BC} \right).d\left( {A,CD} \right)\\
 = \frac{{\left| {7.7 - 3.4 + 5} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }}.\frac{{\left| {3.7 - 7.4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2}} }} = \frac{{1008}}{{29}}
\end{array}\)

Ví dụ 3:  Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng Δ: x + y – 3 =0 và đi qua hai điểm A(-1; 3), B(1; 4)

Hướng dẫn: 

Do tâm nằm trên đường thẳng ∆: x +y – 3 = 0 nên tâm I(x; 3 – x). Mà đường tròn đi qua A(-1; 3), B(1;4) nên IA² = IB² <=> (x+1)²+(-x)²=(x-1)²+(-1-x)²

\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \Rightarrow I\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\)

Bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2} + 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2} - 3} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\)

Vậy phương trình đường tròn là 

\({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - x - 5y + 4 = 0\)

Ví dụ 4: Cho elip \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)

Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và vẽ elip đó.

Hướng dẫn:

Ta có a2 = 25⇒ a = 5, b2 = 16 ⇒ b = 4

Vậy c2 = a2 - b2 = 25 - 16 = 9 ⇒ c = 3

Các đỉnh: \({A_1}\left( { - 5;0} \right),{A_2}\left( {5;0} \right),{B_1}\left( {0; - 4} \right),{B_2}\left( {0;4} \right)\)

Các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - 3;0} \right),{F_2}\left( {3;0} \right)\)

Nội dung bài giảng sẽ giúp các em tổng hợp kiến thức về Phương pháp tọa độ trong không gian đã được học. Bên cạnh đó các em còn được ôn lại phương pháp giải toán thông qua một số bài tập có hướng dẫn giải chi tiết.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Ôn tập chương Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1;3) và có vectơ pháp truyến \(\overrightarrow n  = \left( {5; - 2} \right)\) là:

  • A.  5(x+1) – 2(y+3) = 0
  • B. 5(x – 1) – 2(y – 3) = 0
  • C. (x – 5) + 3(y+2) = 0
  • D. (x+5) + 3(y – 2) = 0

• Câu 2:

  Phương trình của đường thẳng Δ đi qua M1(3;4) và vuông góc với đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}
  x = 2 - 5t\\
  y =  - 3 + 4t
  \end{array} \right.\)

  • A. – 5x + 4y – 1 = 0
  • B.  5x – 4y – 1 = 0
  • C. 4x + 5y – 32 = 0
  • D. 4x – 3y = 0

• Câu 3:

  Cho tam giác ABC với A(1;4), B(3; -2), C(1; 6). Phương trình của trung tuyến AM của tam giác có phương trình là:

  • A.  x – y + 3 = 0
  • B. x + y – 5 = 0
  • C.  2x – y + 2 = 0
  • D. 2x + y – 6 = 0

• Câu 4:

  Cho α là góc tạo bởi hai đường thẳng d₁:3x+2y+4=0,d₂: -x+y+4=0. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A. \({\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{5}{{\sqrt {26} }}\)
  • B. \(\sin \alpha  = \frac{5}{{\sqrt {26} }}\)
  • C. \({\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{-1}{{\sqrt {26} }}\)
  • D. \(\sin \alpha  = \frac{-1}{{\sqrt {26} }}\)

• Câu 5:

  Cho các điểm M(1; 1), N(3; -2), P(-1; 6). Phương trình các đường thẳng qua M cách đều N, P là

  • A. x – 2y + 1 = 0 và y = 1
  • B. 2x – y – 1 = 0 và x – y = 0
  • C. 2x + y – 3 = 0 và x = 1
  • D. 2x – 3y + 1 = 0 và 2x + y – 3 = 0

• Câu 6:

  Cho đường tròn tiếp xúc với cả đường thẳng d₁: x+2y-4=0, d₂: x+2y+6=0. Khi đó diện tích hình tròn là

  • A. 5π
  • B. 10π
  • C. 20π
  • D. 40π

• Câu 7:

  Cho ba đường thẳng d₁: 2x-y-1=0,d₂: mx-(m-2)y+m+4=0,d₃: x+y-2=0. Giá trị của m để ba đường thẳng đồng quy là

  • A. m=0
  • B. m=2
  • C. m=-2
  • D. m=4

• Câu 8:

  Quỹ tích các điểm cách đều hai đường thẳng d₁: 5x-12y+4=0,d₂: 4x-3y+2=0 là:

  • A. 9x + 7y + 2 = 0 và 7x – 9y = 0
  • B. 9x – 7y + 2 = 0 và 77x – 99y + 46 = 0
  • C. 9x – 7y + 2 = 0 và 7x + 9y = 0
  • D. 9x + 7y + 2 = 0 và 77x – 99y + 46 = 0

• Câu 9:

  Cho hình vuông ABCD có tọa độ đỉnh A(3; 2) và tâm hình vuông là I(-1; 4). Khi đó phương trình của đường chéo BD là:

  • A. 2x – y + 6 = 0
  • B. x + y – 3 = 0
  • C.  2x – y – 1 = 0
  • D. x – y + 5 = 0

• Câu 10:

  Cho đường tròn (C) có đường kính là AB với A(5; 1), B(1; -3). Khi đó phương trình của (C) là:

  • A. x²+y²+2x+2y+9=0
  • B.  x²+y²-6x+2y+2=0
  • C. x²+y²-2x-2y-7=0
  • D. x²+y²-6x+2y+15=0

• Câu 11:

  Cho phương trình x²+y²+(m-4)x+(m+2)y+5m+6=0. Giá trị m để phương trình trên là phương trình của một đường tròn bán kính R = 2 là

  • A. m=±2
  • B. m=±5/2
  • C. m=-2,m=-5/2
  • D. m=2,m=5/2

• Câu 12:

  Cho đường tròn (C): x²+y²-2x+2y-14=0 và đường thẳng ∆: - x + 2y – 2 = 0. Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài là:

  • A. \(\sqrt {11} \)
  • B. \(2\sqrt {5} \)
  • C. \(2\sqrt {11} \)
  • D. \(\sqrt {3} \)

• Câu 13:

  Đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng ∆₁: x+y-3=0, đi qua điểm A(-1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆₂: x-y+5=0 có phương trình là:

  • A. x²+y²-4x-2y-8=0
  • B.  x²+y²+x-7y+12=0
  • C. x²+y²+2x+2y-1=0
  • D. x²+y²-2y+9=0

Câu 8- Câu 20: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Ôn tập chương Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 3.45 trang 165 SBT Hình học 10

Bài tập 3.46 trang 166 SBT Hình học 10

Bài tập 3.47 trang 166 SBT Hình học 10

Bài tập 3.48 trang 166 SBT Hình học 10

Bài tập 3.49 trang 166 SBT Hình học 10

Bài tập 3.50 trang 166 SBT Hình học 10

Bài tập 3.51 trang 166 SBT Hình học 10

Bài tập 3.52 trang 167 SBT Hình học 10

Bài tập 3.53 trang 167 SBT Hình học 10

Bài tập 3.54 trang 167 SBT Hình học 10

Bài tập 3.55 trang 167 SBT Hình học 10

Bài tập 3.56 trang 167 SBT Hình học 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.