Bài 1: Phương trình đường thẳng

Vectơ \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \), có giá vuông góc với đường thẳng \(\Delta\) gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng \(\Delta\)

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua M0(x0;y0) và nhận làm vectơ pháp tuyến thì phương trình tổng quát của \(\Delta\) là:

                             \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Tổng quát: Phương trình ax+by+c=0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nhận xét: Nếu đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là ax+by+c=0 thì có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là và VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( { - b;a} \right)\)

Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

Đường thẳng \(by+c=0\) song song hoặc trùng với Ox
Đường thẳng \(ax+c=0\) song song hoặc trùng với Oy
Đường thẳng \(ax+by=0\) đi qua gốc tọa độ

\(\begin{array}{l} {\Delta_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\ {\Delta_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0 \end{array}\)

Tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ phương trình 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0
\end{array} \right.{\rm{    }}\left( {\rm{I}} \right)\)

Ta có các trường hợp:

\({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) (có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {{a_2};{b_2}} \right)\))

\({\rm{cos}}\widehat {\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)} = c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

Ví dụ 1: Hãy tìm tọa độ của VTCP của đường thẳng có phương trình 3x + 4y + 5 = 0

Hướng dẫn:

Đường thẳng có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {3;4} \right)\) suy ra VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( { - 4;3} \right)\)

Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua 2 điểm A(-2;3) và B(5;-6)

Hướng dẫn:

(d) đi qua A(-2;3) và có VTCP là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {7; - 9} \right)\) suy ra VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {9;7} \right)\)

PTTQ của (d) có dạng:

               \(\begin{array}{l}
a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow 9\left( {x + 2} \right) + 7\left( {y - 3} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow 9x + 7y - 3 = 0
\end{array}\)

Ví dụ 3: Xét vị trí tương đối của \(\Delta :x - 2y + 1 = 0\) với mỗi đường thẳng sau:

                                            \(\begin{array}{l}
                                              {d_1}: - 3x + 6y - 3 = 0\\
                                              {d_2}:y =  - 2x
                                               \end{array}\)

Hướng dẫn:

Xét \(\Delta \) với d₁, hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + 1 = 0\\
 - 3x + 6y - 3 = 0
\end{array} \right.\)

có vô số nghiệm vì các hệ số của 2 phương trình tỉ lệ)

Suy ra \(\Delta  \equiv {d_1}\)

Xét \(\Delta \) với d_2, hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + 1 = 0\\
y =  - 2x
\end{array} \right.\)

có nghiệm \(\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5}} \right)\)

Suy ra \(\Delta \) cắt d₂ tại \(M\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5}} \right)\)

Ví dụ 4: Tính khoảng cách từ điểm M(-2;1) đến đường thẳng \(\Delta \) có phương trình 3x - 2y - 1 = 0

Hướng dẫn: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {3.\left( { - 2} \right) - 2.1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{9\sqrt 5 }}{5}\)

Phương trình đường thẳng là một khái niệm mà các em đã được tiếp cận từ những lớp nhỏ. Thông qua bài học này các em sẽ được hiểu thêm cách viết phương trình dựa vào công cụ đã học của toán THPT đó là dùng các vector...

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Chương 3 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho đường thẳng Δ có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;5} \right)\). Vectơ nào dưới đây không phải là VTCP của Δ?

  • A. \(\overrightarrow u_1  = \left( { 3;-5} \right)\)
  • B. \(\overrightarrow u_2  = \left( { -6;10} \right)\)
  • C. \(\overrightarrow u_3  = \left( { 1;5/3} \right)\)
  • D. \(\overrightarrow u_4  = \left( { 5;3} \right)\)

• Câu 2:

  Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(2; 3) và có hệ số góc k = 4 là:

  • A. y=4(x-2)+3
  • B. 4x-y-5=0
  • C. \(\left\{ \begin{array}{l}
    x = 2 + t\\
    y = 3 + 4t
    \end{array} \right.\)
  • D. \(\left\{ \begin{array}{l}
    x = 2 + 3t\\
    y = 3 + t
    \end{array} \right.\)

• Câu 3:

  Cho hai đường thẳng d₁: y = 3x – 1 và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}
  x = 2 - t\\
  y = 5 + 2t
  \end{array} \right.\)

  Góc giữa hai đường thẳng là:

  • A. α = 30^o 
  • B. α=45^o  
  • C. α=60^o
  • D. α=90^o

• Câu 4:

  Cho điểm A(-2; 1) và hai đường thẳng d₁: 3x – 4y + 2 = 0 và d₂: mx + 3y – 3 = 0. Giá trị của m để khoảng cách từ A đến hai đường thẳng bằng nhau là:

  • A. m=±1
  • B. m = 1 và m = 4
  • C. m=±4
  • D. m = - 1 và m = 4

• Câu 5:

  Cho tam giác ABC với A(-2; 3), B(1; 4), C(5; -2). Phương trình đườgn trung tuyến AM của tam giác là:

  • A. x – 2y + 8 = 0
  • B. 2x + 5y – 11 = 0
  • C. 3x – y + 9 = 0
  • D. x + y – 1 = 0

• Câu 6:

  Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: 3x – y + 4 = 0, AC: x + 2y – 4 = 0, BC: 2x + 3y – 2 = 0. Khí đó diện tích của tam giác ABC là:

  • A. 1/77
  • B. 338/77
  • C. 38/77
  • D. 380/77

• Câu 7:

  Có bao nhiêu vectơ pháp tuyến của một đường thẳng?

  • A. 0
  • B. 1
  • C. 2
  • D. Vố số 

Câu 8- Câu 20: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Chương 3 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 10 trang 84 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 11 trang 84 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 12 trang 84 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 13 trang 85 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 14 trang 85 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 15 trang 89 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 16 trang 90 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 17 trang 90 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 18 trang 90 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 19 trang 90 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 20 trang 90 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 21 trang 95 SGK Hình học 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.