Bài 2: Phương trình đường tròn

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R.
Ta có \(M\left( {x;y} \right) \subset \left( C \right) \Leftrightarrow IM = R\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2}} = R\\ \Leftrightarrow {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2} \end{array}\)
Vì vậy, phương trình \({{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} = {R^2}}\) được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R

Chú ý:

Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và có bán kính R là: \({x^2} + {y^2} = {R^2}\)

Phương trình đường tròn \({{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} = {R^2}}\) có thể viết lại dưới dạng \({x^2} + {y^2} - 2{\rm{ax}} - 2by + c = 0\) trong đó \(c=a^2+b^2-R^2\).

Ngược lại, phương trình \({x^2} + {y^2} - 2{\rm{ax}} - 2by + c = 0\) là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\). Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Cho điểm \(M_0\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nằm trên đường tròn tâm I(a;b). Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của (C) tại \(M_0\)
Ta có \(M_0\) thuộc \(\Delta\) và vectơ \(\overrightarrow {I{M_0}} = \left( {{x_0} - a;{y_0} - b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta\). Do đó, \(\Delta\) có phương trình là:
\(\left( {{x_0} - a} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {{y_0} - b} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)
Đây chính là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} = {R^2}}\) tại điểm \(M_0\) trên đường tròn.

Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) \({x^2} + {y^2} + 8{\rm{x}} - 6y + 16 = 0\)
b) \(4{x^2} + 4{y^2} + 5{\rm{x}} - 16y + 10 = 0\)
Hướng dẫn:
a) \(\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + 8{\rm{x}} - 6y + 16 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 8{\rm{x}} + 16 + {y^2} - 6y + 9 = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {3^2} \end{array}\)
Nên đường tròn có tâm I(-4;3) và bán kính R = 3.
b) \(\begin{array}{l} 4{x^2} + 4{y^2} + 5{\rm{x}} - 16y + 10 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \frac{{5{\rm{x}}}}{4} - 4y + \frac{5}{2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.x.\frac{5}{8} + \frac{{25}}{{64}} + {y^2} - 4y + 4 = \frac{{121}}{{64}}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{5}{8}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {\frac{{11}}{8}} \right)^2} \end{array}\)
Nên đường tròn có tâm \(I\left( {\frac{{ - 5}}{8};2} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{11}}{8}\)

Bài 2: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm: A(1;2), B(3;4) C(1;6)
Hướng dẫn: Tâm I của đường tròn này là giao điểm của đường trung trực của AB và BC.
ptđt trung trực  AB: x + y - 5 = 0
ptđt trung trực BC: x - y + 3 = 0
Nên tâm I (1;4) và R = 2
Vậy phương trình đường tròn: (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\)

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4{\rm{x}} - 6y + 3 = 0\) có tâm I và đường thẳng \(d:x - 2y - 11 = 0\). Tìm hai điểm A và B trên đường tròn (C) sao cho AB song song với d và tam giác IAB là tam giác vuông cân.
Hướng dẫn:

Trong phạm vi bài học Chúng tôi chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Phương trình đường tròn và phương pháp để lập phương trình của một đường tròn cùng các dạng toán liên quan đến đường tròn.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²+2x-8y=0. Khi đó đường tròn có tâm I và bán kính R với

  • A. I(2;-8), R=2√2
  • B. I(1;-4), R=3
  • C.  I(-1;4), R=3
  • D. I(1;-4), R=2√2

• Câu 2:

  Phương trình đường tròn có tâm I(3; -5) và có bán kính R = 2 là

  • A.  x²+y²+3x-5y+2=0
  • B. x²+y²+6x-10y+30=0
  • C.  x²+y² - 6x+10y-4=0
  • D. x²+y²-6x+10y+30=0

• Câu 3:

  Phương trình đường tròn đường kính AB với A(1; 6), B(-3; 2) là

  • A.  x²+y²+2x-8y+9=0
  • B. x²+y²-2x+8y+9=0
  • C. x²+y²+2x-8y-15=0
  • D.  x²+y²-2x+8y-15=0

• Câu 4:

  Phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-1; 3), B(1; 4), C(3; 2) là:

  • A. \({x^2} + {y^2} - \frac{5}{3}x - \frac{{11}}{3}y + \frac{2}{3} = 0\)
  • B. \({x^2} + {y^2} - \frac{5}{2}x - \frac{{11}}{3}y - \frac{2}{3} = 0\)
  • C. \({x^2} + {y^2} - \frac{5}{6}x - \frac{{11}}{6}y - \frac{2}{3} = 0\)
  • D. \({x^2} + {y^2} - \frac{5}{6}x - \frac{{11}}{6}y + \frac{2}{3} = 0\)

• Câu 5:

  Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²-6x+4y-12=0. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A(-1; 1) là:

  • A. – 4x + 3y – 7 = 0
  • B. 4x + 3y + 1= 0
  • C.  3x + 4y – 1 = 0
  • D. 3x – 4y + 7 = 0

Câu 7- Câu 15: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 3.25 trang 156 SBT Hình học 10

Bài tập 3.26 trang 156 SBT Hình học 10

Bài tập 3.27 trang 156 SBT Hình học 10

Bài tập 21 trang 95 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 22 trang 95 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 23 trang 95 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 24 trang 95 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 25 trang 95 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 26 trang 95 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 27 trang 96 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 28 trang 96 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 29 trang 96 SGK Hình học 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.