Bài 3: Phương trình đường elip

Cho hai điểm cố định F₁, F₂ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F₁F₂. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho 

                                                        F₁M+F₂M=2a

Các điểm F₁ và F₂ gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F₁F₂ gọi là tiêu cự của elip.

Cho elip (E) có các tiêu điểm F₁ và F₂. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F₁M+F₂M=2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sa cho F₁=(-c;0) và F₂=(c;0). Khi đó phương trình chính tắc của elip là:

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

trong đó b² = a² - c²

+ (E) có trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là O

+ Các điểm A₁, A₂, B₁, B₂ gọi là các đỉnh của elip

+ Đoạn thẳng A₁A₂ gọi là trục lớn, đoạn thẳng B₁B₂ gọi là trục nhỏ của elip.

+ Từ hệ thức b2 = a2 - c2 ta thấy nếu tiêu cự càng nhỏ thì b càng gần a, tức là trục nhỏ của elip càng gần trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.

+ Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} = {a^2}\)

Với mỗi điểm M(x;y) thuộc đường tròn, xét điểm M'(x';y') sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}
x' = x\\
y' = \frac{b}{a}y
\end{array} \right.\left( {0 < b < a} \right)\)

thì tập hợp các điểm M' có tọa độ thỏa phương trình \(\frac{{{x'^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y'^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là một elip (E) 

Ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).

Ví dụ 1: Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của elip có phương trình

\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Hướng dẫn:

Ta có a² = 9⇒ a = 3, b² = 1 ⇒ b = 1

Vậy c² = a² - b² = 9 - 1 = 8 ⇒ c = \(2\sqrt 2 \)

Độ dài trục lớn là A₁A₂ = 2a = 6

Độ dài trục nhỏ là: B₁B₂ = 2b = 2

Tiêu điểm là: \({F_1}\left( { - 2\sqrt 2 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 2 ;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh là \({A_1}\left( { - 3;0} \right),{A_2}\left( {3;0} \right),{B_1}\left( {0; - 1} \right),{B_2}\left( {0;1} \right)\)

Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a) (E) đi qua điểm \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và M nhìn hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\) dưới một góc vuông.

b) (E) đi qua \(M\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)\) và một tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc 60^o.

Hướng dẫn:

a) Do (E) đi qua M nên \(\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\) (1); Lại có \({\widehat {{F_1}MF}_2} = {90^0} \Leftrightarrow OM = \frac{1}{2}{F_1}{F_2} = c \Leftrightarrow c = \sqrt 5 \)

Như vậy ta có  hệ điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\\
{a^2} - {b^2} = 5
\end{array} \right.\). Giải hệ ta được \({a^2} = 9;{b^2} = 4 \Rightarrow (E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

b) Tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc 60^o nên tam giác FB₁B₂ đều (B₁, B₂ là hai đỉnh trên trục nhỏ), suy ra \(c = b\sqrt 3  \Rightarrow a = 2b\), từ đó tìm ra \((E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{9}{4}}} = 1\)

Ví dụ 3: Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\). Tìm điểm \(M \in (E)\) sao cho \(M{F_1} = 2M{F_2}\).

Hướng dẫn:

Gọi \(M(x;y) \Rightarrow M{F_1} = 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x;M{F_2} = 2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\). Từ \(M{F_1} = 2M{F_2} \Rightarrow x = \frac{4}{{3\sqrt 3 }}\)

Từ đó tìm ra \(y =  \pm \frac{{\sqrt {23} }}{{3\sqrt 3 }}\). Vậy có hai điểm M cần tìm là \(M\left( {\frac{4}{{3\sqrt 3 }}; \pm \frac{{\sqrt {23} }}{{3\sqrt 3 }}} \right)\).

Trong phạm vi bài học Chúng tôi chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Phương trình đường elip và phương pháp giải các dạng toán liên quan đến đường elip.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lơn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:

  • A. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{36} = 1\)
  • B. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
  • C. \(\frac{{{x^2}}}{{9}} + \frac{{{y^2}}}{16} = 1\)
  • D. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

• Câu 2:

  Phương trình của elip có 1 tiêu điểm F₂(1;0) và đi qua điểm M(2; -2/√5) là:

  • A. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\)
  • B. 4x²+5y²=1
  • C. \(\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)
  • D. 5x²+4y²=1

• Câu 3:

  Cho elip có phương trình 4x²+9y²=36. Khi đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng:

  • A. 6
  • B. 12
  • C. 24
  • D. 36

• Câu 4:

   Cho elip (E) có phương trình

  \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

  Đường thẳng nào sau đây cắt (E) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục Oy?

  • A. y=2x
  • B. y=3
  • C. x=3
  • D. y=10

• Câu 5:

  Cho elip (E) có phương trình

  \(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)

  với hai tiêu điểm là F₁,F₂. Với điểm M bất kì trên (E) thì chu vi tam giác MF₁F₂là:

  • A. 50
  • B. 36
  • C. 34
  • D. Thay đổi phụ thuộc vào vị trí M

Câu 8- Câu 20: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 3.31 trang 163 SBT Hình học 10

Bài tập 3.32 trang 164 SBT Hình học 10

Bài tập 3.33 trang 164 SBT Hình học 10

Bài tập 3.34 trang 164 SBT Hình học 10

Bài tập 3.35 trang 164 SBT Hình học 10

Bài tập 3.36 trang 164 SBT Hình học 10

Bài tập 30 trang 102 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 31 trang 103 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 32 trang 103 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 33 trang 103 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 34 trang 103 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 35 trang 103 SGK Hình học 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.