Lý thuyết và bài tập về Vi phân và đạo hàm cấp cao Toán 11

\(df\left( x \right) = f'\left( x \right)dx\) hoặc \(dy = y'dx\)

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\).

+ Nếu hàm số \(f'\left( x \right)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số \(f\left( x \right)\), kí hiệu là \(f''\left( x \right)\).

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai:

Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: \(S = s\left( t \right)\).

Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm \({t_0}\) là: \(v\left( {{t_0}} \right) = S'\left( {{t_0}} \right)\)

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm \({t_0}\) là: \(a\left( {{t_0}} \right) = S''\left( {{t_0}} \right)\)

+ Đạo hàm cấp \(n\left( {n \in N,n \ge 2} \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\), kí hiệu là \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\) hay \({y^{\left( n \right)}}\) là đạo hàm cấp một của hàm số \({f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)\), tức là \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)} \right]'\)

Đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản

+) \({\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\)

+) \({\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\)

+) Nếu \(n \le m\) thì \(\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)} =m\left( {m - 1} \right)...\left( {m - n + 1} \right).{x^{m - n}}\)

+) Nếu \(n>m\) thì \({\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)}} =0\).

\(\begin{array}{l}
+ )y = \sin \left( {ax + b} \right)\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = {a^n}\sin \left( {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right)\\
+ )y = \cos \left( {ax + b} \right)\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = {a^n}\cos \left( {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right)\\
+ )y = \frac{1}{{ax + b}}\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!.{a^n}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\\
+ )y = \sqrt[m]{{ax + b}}\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = \frac{1}{m}.\left( {\frac{1}{m} - 1} \right)...\left( {\frac{1}{m} - n + 1} \right).{a^n}.{\left( {ax + b} \right)^{\frac{1}{m} - n}}
\end{array}\)

Câu 1: Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{-x+1}\). Tìm \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)\):

A. \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!{{\left( 1-x \right)}^{-30}}\)

B. \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!{{\left( 1-x \right)}^{-31}}\)

C. \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=-30!{{\left( 1-x \right)}^{-30}}\)

D. \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=-30!{{\left( 1-x \right)}^{-31}}\)

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Với \(g\left( x \right)=\frac{k}{\left( ax+b \right)}\,\,\left( x\ne -\frac{b}{a},\,k\in R,\,k\ne 0 \right)\). Ta có: \({{g}^{\left( n \right)}}\left( x \right)=\frac{k.{{\left( -1 \right)}^{n}}.{{a}^{n}}.n!}{{{\left( ax+b \right)}^{n+1}}},\,\,\,\forall x\ne -\frac{b}{a}.\)

Hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{-x+1}=-\left( x+1 \right)+\frac{1}{-x+1}\). Nên \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=\frac{30!}{{{\left( -x+1 \right)}^{31}}}=30!{{\left( -x+1 \right)}^{-31}}\).

Câu 2: Cho hàm số \(y=\cos x\). Khi đó \({{y}^{(2016)}}(x)\) bằng

A. \(-\cos x\).

B. \(\sin x\).

C. \(-\sin x\).

D. \(\cos x\).

Hướng dẫn giải

\({y}'=-\sin x=\cos (x+\frac{\pi }{2})\); \({{y}'}'=-\cos x=\cos (x+\pi )\);

Dự đoán \({{y}^{(n)}}(x)=\cos (x+\frac{n\pi }{2})\).

Thật vậy:

Dễ thấy MĐ đúng khi n=1. Giả sử MĐ đúng khi \(n=k(k\ge 1)\), tức là ta có \({{y}^{(k)}}(x)=\cos (x+\frac{k\pi }{2})\)

Khi đó \({y^{(k + 1)}}(x) = {\rm{ }}[{\rm{ }}{y^{(k)}}(x)]{{\rm{ }}^\prime }{\rm{ = }}[{\rm{ }}\cos ({\rm{x + }}\frac{{{\rm{k}}\pi }}{{\rm{2}}})]{{\rm{ }}^\prime }{\rm{ = - sin}}({\rm{x + }}\frac{{{\rm{k}}\pi }}{{\rm{2}}}{\rm{) = sin( - x - }}\frac{{{\rm{k}}\pi }}{{\rm{2}}}{\rm{) = cos(x + }}\frac{{({\rm{k + 1}})\pi }}{{\rm{2}}}{\rm{)}}\)

Vậy MĐ đúng khi n=k+1 nên nó đúng với mọi n.

Do đó \({{y}^{(2016)}}(x)=\cos (x+1008\pi )=\cos x\)

Chọn D.

Câu 3: Cho hàm số \(y={{\cos }^{2}}2x\). Giá trị của biểu thức \({{{y}'}'}'+{{y}'}'+16{y}'+16y-8\) là kết quả nào sau đây?

A. 0.

B. 8.

C. \(\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}\).

D. \(\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\)

Hướng dẫn giải

\({y}'=-2\cos 2x.2\sin 2x=-2\sin 4x\), \({{y}'}'=-8\cos 4x\), \({{{y}'}'}'=32\sin 4x\)

\({{{y}'}'}'+{{y}'}'+16{y}'+16y-8=32\sin 4x-8\cos 4x-32\sin 4x+16{{\cos }^{2}}2x-8 =16{{\cos }^{2}}2x-8\cos 4x-8=0\)

Chọn A.

Câu 4: Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=\cos \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)\). Phương trình \({{f}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=-8\) có các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) là:

A. x=0, \(x=\frac{\pi }{3}\)

B. \(x=\frac{\pi }{2}\)

C. x=0, \(x=\frac{\pi }{2}\)

D. x=0, \(x=\frac{\pi }{6}\)

Hướng dẫn giải

\({f}'\left( x \right)=-2\sin \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)\), \({{f}'}'\left( x \right)=-4\cos \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)\), \({{{f}'}'}'\left( x \right)=8\sin \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)\), \({{f}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=16\cos \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)\).

\({{f}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=-8\Leftrightarrow \cos \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Vì \(x\in \left[ 0;\,\frac{\pi }{2} \right]\) nên lấy được \(x=\frac{\pi }{2}\)

Chọn B.

Câu 5: Cho hàm số \(y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A. \({{y}^{3}}.{y}''+1=0\)

B. \({{y}^{2}}.{y}''-1=0\)

C. \(3{{y}^{2}}.{y}''+1=0.\)

D. \(2{{y}^{3}}.{y}''+3=0.\)

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có: \({y}'=\frac{1-x}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}\), \({y}''=-\frac{1}{\sqrt{{{\left( 2x-{{x}^{2}} \right)}^{3}}}}\)

Thay vào: \({{y}^{3}}.{y}''+1=\sqrt{{{\left( 2x-{{x}^{2}} \right)}^{3}}}.\frac{\left( -1 \right)}{\sqrt{{{\left( 2x-{{x}^{2}} \right)}^{3}}}}+1=-1+1=0.\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về Vi phân và đạo hàm cấp cao Toán 11. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!