I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên tập \(D.\)
Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(D\) nếu: \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) \le M,\forall x \in D\\ \exists {x_0} \in D,f({x_0}) = M \end{array} \right.\).
Kí hiệu: \(M=\underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f(x)\).
Số \(m\) gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f\left( x \right)\)trên \(D\) nếu: \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge m,\forall x \in D\\ \exists {x_0} \in D,f({x_0}) = m \end{array} \right.\).
Kí hiệu: \(m=\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f(x)\).
2. Phương pháp
-
Bước 1. Tính đạo hàm \({f}'(x)\).
-
Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm \({{x}_{i}}\in [a;b]\) của phương trình \({f}'(x)=0\) và tất cả các điểm \({{\alpha }_{i}}\in [a;b]\) làm cho \({f}'(x)\) không xác định.
-
Bước 3. Tính \(f(a),f(b), f({{x}_{i}}), f({{\alpha }_{i}})\).
-
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận \(M=\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f(x)\), \(m=\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f(x)\).
Chú ý:
Nếu \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ a;b \right]\) thì \(M=\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f(x)=f\left( b \right);\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f\left( a \right)\).
Nếu \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ a;b \right]\) thì \(M=\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f(x)=f\left( a \right);\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f\left( b \right)\).
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
-
Max – Min khi biết đồ thị, BBT.
-
Max – min của hàm số trên đoạn [a;b].
-
Max – min của hàm số trên K.
-
Max – min của hàm số chứa trị tuyệt đối.
-
Bài toán tham số về Max – min.
-
Max – min của biểu thức nhiều biến.
-
Ứng dụng Max – min giải toán tham số.
-
Bài toán thực tế, liên môn về Max – min.
-
Tìm Max – min của hàm hợp.
…
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\). Tổng \(M+m\) bằng
A.\(11\).
B.\(14\).
C.\(5\).
D.\(13\).
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm Max – min của hàm số trên đoạn \(\left[ a;b \right]\).
2. HƯỚNG GIẢI:
B1:
* Hàm số đã cho \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right].\)
*Tìm các điểm \({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\) trên khoảng \(\left( a;b \right)\), tại đó \({f}'\left( x \right)=0\) hoặc \({f}'\left( x \right)\) không xác định.
B2: Tính \(f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right).\)
B3: Khi đó:
*\(\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{max}}}\,f\left( x \right)=\text{max}\left\{ f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right) \right\}.\)
*\(\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{min}}}\,f\left( x \right)=\text{min}\left\{ f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right) \right\}.\)
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
Ta có \({f}'(x)=4{{x}^{3}}-4x\) và \({f}'(x)=0\Leftrightarrow x=0,x=\pm 1\).
Trên \([0;2],\) ta xét các giá trị
\(f(0)=3,\text{ }f(1)=2,\text{ }f(2)=11.\)
Do đó \(M=11,m=2\) và \(M+m=13.\)
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 1
Câu 1. Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+16x-9\) trên đoạn \(\left[ 1;\,3 \right]\) là
A. \(\underset{\left[ 1;\,3 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=5\).
B. \(\underset{\left[ 1;\,3 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=-6\).
C. \(\underset{\left[ 1;\,3 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\frac{13}{27}\).
D. \(\underset{\left[ 1;\,3 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=0\).
Câu 2. Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f\left( x \right)={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+16\) trên đoạn \(\left[ -1;3 \right]\).
A. \(9\).
B. \(19\).
C. \(25\).
D. \(0\).
Câu 3. Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-1.\) Kí hiệu \(M=\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right),\)\(m=\underset{x\in \left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right).\) Khi đó \(M-m\) bằng.
A. \(9\).
B. \(5\).
C. \(1\).
D. \(7\).
Câu 4. Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x-4\) trên \(\left[ -4;0 \right]\) lần lượt là \(M\) và \(m\). Giá trị của \(M+m\) bằng
A. \(\frac{4}{3}\).
B. \(-\frac{28}{3}\).
C. \(-4\).
D. \(-\frac{4}{3}\).
Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-5\) trên đoạn \(\left[ -2;3 \right]\) bằng
A. \(-50\).
B. \(-1\).
C. \(-197\).
D. \(-5\).
Câu 6. Gọi \(M, N\) lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\) trên \(\left[ 1;2 \right]\). Khi đó tổng \(M+N\) bằng
A. \(2\).
B. \(-2\).
C. \(-4\).
D. \(0\).
Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+10\) trên \(\left[ -2;\ 2 \right]\).
A. \(\underset{[-2;\ 2]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=5\).
B. \(\underset{[-2;\ 2]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=17\).
C. \(\underset{[-2;\ 2]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=-15\).
D. \(\underset{[-2;\ 2]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=15\).
Câu 8. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-4x+3\) trên đoạn \(\left[ -4;0 \right]\) lần lượt là \(M\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }m\). Giá trị của tổng \(M+m\) bằng bao nhiêu?
A. \(M+m=-2\).
B. \(M+m=-24\).
C. \(M+m=-4\).
D. \(M+m=-10\).
Câu 9. Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất, \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x+1\) trên đoạn \(\left[ -1;3 \right].\) Khi đó tổng \(M+m\) có giá trị là một số thuộc khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( 59;61 \right)\).
B. \(\left( 39;42 \right)\).
C. \(\left( 0;2 \right)\) .
D.\(\left( 3;5 \right)\).
Câu 10. Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{x+1}{x-1}\) trên đoạn \(\left[ 3;\,5 \right]\). Khi đó \(M-m\) bằng
A. \(2\)
B. \(\frac{3}{8}\)
C. \(\frac{7}{2}\)
D. \(\frac{1}{2}\)
ĐÁP ÁN
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| C | C | A | B | A | C | D | A | B | D |
Mức độ 2
Câu 1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{2{{x}^{2}}+x-2}{2-x}\) trên đoạn \(\left[ -2;\,1 \right]\) lần lượt bằng:
A.1 và -1.
B.2 và 0.
C.0 và -2.
D.1 và -2.
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số\(y=x+\frac{9}{x}\) trên đoạn \(\left[ 2;4 \right]\) là:
A.\(\underset{\left[ 2;\text{ 4} \right]}{\mathop{\min }}\,y=6\).
B.\(\underset{\left[ 2;\text{ 4} \right]}{\mathop{\min }}\,y=\frac{13}{2}\).
C.\(\underset{\left[ 2;\text{ 4} \right]}{\mathop{\min }}\,y=-6\).
D.\(\underset{\left[ 2;\text{ 4} \right]}{\mathop{\min }}\,y=\frac{25}{4}\).
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x+1+\frac{4}{x+2}\) trên đoạn [-1; 5].
A.\(\underset{\left[ -1;5 \right]}{\mathop{\max y}}\,=3\).
B.\(\underset{\left[ -1;5 \right]}{\mathop{\max y}}\,=4\).
C.\(\underset{\left[ -1;5 \right]}{\mathop{\max y}}\,=-5\).
D.\(\underset{\left[ -1;5 \right]}{\mathop{\max y}}\,=\frac{46}{7}\).
Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số \(y=x+\frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left[ \frac{3}{2};\,3 \right]\).
A.\(\underset{\left[ \frac{3}{2};\,3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{10}{3}\), \(\underset{\left[ \frac{3}{2};\,3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=\frac{5}{2}\).
B.\(\underset{\left[ \frac{3}{2};\,3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{10}{3}\), \(\underset{\left[ \frac{3}{2};\,3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=\frac{13}{6}\).
C.\(\underset{\left[ \frac{3}{2};\,3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{10}{3}\), \(\underset{\left[ \frac{3}{2};\,3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=2\).
D.\(\underset{\left[ \frac{3}{2};\,3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{16}{3}\), \(\underset{\left[ \frac{3}{2};\,3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=2\).
Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
A.\(\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min y}}\,=-1\).
B.\(\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min y}}\,=-\frac{3}{7}\).
C.\(\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min y}}\,=-4\).
D.\(\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min y}}\,=0\).
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm về Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số theo từng mức độ. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tốt!
