Giải toán bằng cách lập phương trình bài có nội dung hình học

GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BÀI CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC

- Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y là chiều dài)

- Diện tích tam giác \(S = \frac{1}{2}x.y\) ( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng)

- Độ dài cạnh huyền : c² = a² + b² (c là cạnh huyền; a,b là các cạnh góc vuông)

- Số đường chéo của một đa giác \(\frac{{n(n - 3)}}{2}\) (n là số đỉnh)

Ví dụ 1:  Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm² , biết rằng nếu tăng mỗi kích thước  thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm².

Giải:

 Gọi các kích thước của hình chữ nhật lần lượt là x và y (cm; x, y > 0).

Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là x.y (cm²) . Theo bài ra ta có pt   x.y = 40 (1)

Khi tăng mỗi chiều thêm 3 cm thì diện tích hình chữ nhật là. Theo bài ra ta có pt

(x + 3)(y + 3) – xy = 48 ⇔ 3x + 3y + 9 = 48 ⇔ x + y = 13(2)

Từ (1) và (2) suy ra x và y là nghiệm của pt X² – 13 X + 40 = 0

Ta có \(\Delta  = {( - 13)^2} - 4.40 = 9 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta   = 3\) 

Phương trình có hai nghiệm \({X_1} = \frac{{13 + 3}}{2} = 8;{X_2} = \frac{{13 - 3}}{2} = 5\) 

Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 5 (cm) và 8 (cm)

Ví dụ 2:  Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 5 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 1m. Tính các cạnh góc vuông của tam giác?

Giải:

Gọi cạnh góc vuông thứ nhất  là x (m) (5 > x > 0)

Cạnh góc vuông thứ hai là x + 1 (m)

Vì cạnh huyền bằng 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình

x²  + (x + 1)² = 5² \(\Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 24 \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0\) 

\(\Delta  = {1^2} - 4.( - 12) = 49 \Rightarrow \sqrt \Delta   = 7\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({{\rm{x}}_{\rm{1}}} = \frac{{ - 1 + 7}}{2} = 3\) (thỏa mãn); \({x_2} = \frac{{ - 1 - 7}}{2} =  - 4\) (loại)

Vậy kích thước các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 3 m và 4 m.

Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 110cm². Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm². Tình hai cạnh góc vuông của tam giác.

HD GIẢI:

Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (x > 5, y > 5).

Theo đề bài ta có hệ pt: \(\left\{ \begin{array}{l}
5x\,\, + \,\,\,4y\,\, = \,\,\,200\\
x\,\,\,\, + \,\,y\,\,\,\,\,\, = \,\,\,45
\end{array} \right.\) 

Giải hệ pt ta được \(\left\{ \begin{array}{l}
x\,\, = \,\,20\\
y\,\, = \,\,25
\end{array} \right.\) (thỏa ĐK).

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 20cm và 25cm.

Ví dụ 3: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm². Tìm độ dài các cạnh góc vuông.

HD GIẢI:

Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (0 < x, y < 5).

Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x² + y² = 25   (1).

Vì tam giác có diện tích 6cm² nên ta có pt: \(\frac{1}{2}\)xy = 6 xy = 12  (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + \,{y^2}\, = \,\,25\\
x\,.y\, = \,\,12
\end{array} \right.\) 

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}
{(x\, + \,y)^2}\, - \,2xy\,\, = \,\,\,25\\
\,\,\,x\,.y\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,12
\end{array} \right.\) 

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}
{(x\, + \,y)^2}\,\, = \,\,\,49\\
\,\,\,x\,.y\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,12
\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}
x\, + \,y\,\, = \,\,\,7\\
\,\,x\,.y\,\,\, = \,\,\,12
\end{array} \right.\) ( vì x, y > 0)

Giải hệ pt ta được \(\left\{ \begin{array}{l}
x\,\, = \,\,3\\
y\,\, = \,\,4
\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
x\,\, = \,\,4\\
y\,\, = \,\,3
\end{array} \right.\) (thỏa ĐK).

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm.

Bài tâp

Bài 1:  Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m, chiều dài hơn chiều rộng 7 m. Tính  diện tích hình chữ nhật đó?

Bài 2: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi

Bài 3: Một đa giác lồi có tất cả 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh?

Bài 4: Một cái sân hình tam giác có diện tích 180 m² . Tính cạnh đáy của sân biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4 m và giảm chiều cao tương ứng 1 m thì diện tích không đổi?

Bài 5: Một miếng đất hình thang cân có chiều cao là 35 m hai đáy lần lượt bằng 30 m và 50 m người ta làm hai đoạn đường  có cùng chiều rộng. Các tim đừng lần lượt là đường trung bình của hình thang và đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đáy. Tính chiều rộng đoạn đường đó biết rằng diện tích phần làm đường bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích hình thang.

Đáp số

Bài 1: Diện tích hình chữ nhật là  60 m²

Bài 2: Diện tích hình chữ nhật là  3750 m²

Bài 3: Đa giác có 10 đỉnh

Bài 4: Cạnh đày của tam giác là 36 m.

Bài 5: Chiều rộng của đoạn đường là 5 m.

Trên đây là nội dung tài liệu Giải toán bằng cách lập phương trình bài có nội dung hình học​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.