Bài 26 trang 158 SGK Toán 11 nâng cao
Áp dụng định nghĩa giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số, tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1} \)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \left( {\sqrt {5 - x} + 2x} \right)\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{x - 3}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}}\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1} = 0\)
Câu b:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \left( {\sqrt {5 - x} + 2x} \right) = 2.5 = 10\)
Câu c:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{x - 3}} = + \infty \) (vì x > 3)
Câu d:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}} = - \infty \) (vì x < 3)
Bài 27 trang 158 SGK Toán 11 nâng cao
Tìm các giới hạn sau (nếu có):
a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}}\)
b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}}\)
c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}}\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Với mọi 2, ta có | = x−2. Do đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 1 = 1\)
Câu b:
Với mọi 2, ta có –2| = 2–x. Do đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} - 1 = - 1\)
Câu c:
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}}\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}}\).
Bài 28 trang 158 SGK Toán 11 nâng cao
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x + 2\sqrt x }}{{x - \sqrt x }}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {2 - x} }}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{\sqrt {{x^5} + {x^4}} }}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} }}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Với x > 0, ta có: \(\frac{{x + 2\sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x + 2\sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{2}{{ - 1}} = - 2\)
Câu b:
Với x < 2, ta có: \(\frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {2 - x} }} = \frac{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}{{\sqrt {2 - x} }} = \left( {x + 2} \right)\sqrt {2 - x} \)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {2 - x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 2} \right)\sqrt {2 - x} = 0\)
Câu c:
Với x > - 1, ta có: \(\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{\sqrt {{x^5} + {x^4}} }} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2}\sqrt {x + 1} }} = \frac{{\sqrt {x + 1} \left( {x + 2} \right)}}{{{x^2}}}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{\sqrt {{x^5} + {x^4}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} \left( {x + 2} \right)}}{{{x^2}}} = 0\)
Câu d:
Với - 3 < x < 3, ta có: \(\frac{{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} }}{{\sqrt {9 - {x^2}} }} = \frac{{\sqrt {\left( {3 - x} \right)\left( {4 - x} \right)} }}{{\sqrt {\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)} }} = \frac{{\sqrt {4 - x} }}{{\sqrt {3 + x} }}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} }}{{\sqrt {9 - {x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\sqrt {4 - x} }}{{\sqrt {3 + x} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\)
Bài 29 trang 159 SGK Toán 11 nâng cao
Cho hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
2\left| x \right| - 1\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le - 2\\
\sqrt {2{x^2} + 1} \,\,\,\,khi\,\,x > - 2
\end{array} \right.\)
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right)\) (nếu có).
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \left( {2\left| x \right| - 1} \right) = 2.\left| { - 2} \right| - 1 = 3\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \sqrt {2{x^2} + 1} = 3\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = 3
\end{array}\)
Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 4 Bài 5 Giới hạn một bên với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.
