Giải Toán 10 SGK nâng cao Ôn tập Chương 6

Hỏi các đẳng thức sau có đúng với mọi số nguyên k không?

\(\begin{array}{l}
a)\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\\
b)\cos \left( {k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\\
c)\tan \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\\
d)\sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đúng, thử với k chẵn và k lẻ

Câu b:

Đúng, thử với k chẵn và k lẻ

Câu c:

Đúng, thử với k = 0, 1, 2, 3

Câu b:

Sai, khi k = 1, vế trái là \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\), vế phải là \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

---

Tính 

a) \(\sin \alpha ,\cos 2\alpha ,\sin 2\alpha ,\cos \frac{\alpha }{2},\sin \frac{\alpha }{2}\) biết \(\cos \alpha  = \frac{4}{5}\) và \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\)

b) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\) biết \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha  =  - \frac{9}{{11}}\\
\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}
\end{array} \right.\)

c) \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha \) biết \(\cos 2\alpha  = \frac{3}{5}\)

d) \(\cos \left( {\alpha  - \beta } \right)\) biết \(\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha  - \sin \beta  = \frac{1}{3}\\
\cos \alpha  - \cos \beta  = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)

e) \(\sin \frac{\pi }{{16}}\sin \frac{{3\pi }}{{16}}\sin \frac{{5\pi }}{{16}}\sin \frac{{7\pi }}{{16}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
 - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  = \frac{3}{5}\\
\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha  =  - \frac{{24}}{{25}}\\
\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = \frac{7}{{25}}\\
\cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{2}}  = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\\
\sin \frac{\alpha }{2} =  - \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{2}}  =  - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}
\end{array}\)

Câu b:

Vì \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \tan \alpha  > 0\)

Do đó, ta có:

\(\begin{array}{l}
\tan \alpha  = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1}  = \frac{{2\sqrt {10} }}{9}\\
\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{1 - \tan \alpha }}{{1 + \tan \alpha }} = \frac{{121 - 36\sqrt {10} }}{{41}}
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = \left( {{{\sin }^2}\alpha  - {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)\\
 = {\sin ^2}\alpha  - {\cos ^2}\alpha  =  - \cos 2\alpha  =  - \frac{3}{5}
\end{array}\)

Câu d:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {\sin \alpha  - \sin \beta } \right)^2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}\\
 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\sin ^2}\beta  - 2\sin \alpha \sin \beta  = \frac{1}{9}\,\,\left( 1 \right)\\
{\left( {\cos \alpha  - \cos \beta } \right)^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\\
 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  - 2\cos \alpha \cos \beta  = \frac{1}{4}\,\,\left( 2 \right)
\end{array}\)

Cộng theo vế của (1) và (2), ta được:

\(\begin{array}{l}
1 + 1 - 2\left( {\cos \alpha \cos \beta  + \sin \alpha \sin \beta } \right) = \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{{13}}{{36}}\\
 \Rightarrow \cos \left( {\alpha  - \beta } \right) = \frac{{59}}{{72}}
\end{array}\)

Câu e:

\(\begin{array}{l}
\sin \frac{\pi }{{16}}\sin \frac{{3\pi }}{{16}}\sin \frac{{5\pi }}{{16}}\sin \frac{{7\pi }}{{16}}\\
 = \sin \frac{\pi }{{16}}\sin \frac{{3\pi }}{{16}}\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{3\pi }}{{16}}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{{16}}} \right)\\
 = \sin \frac{\pi }{{16}}\sin \frac{{3\pi }}{{16}}\cos \frac{{3\pi }}{{16}}\cos \frac{\pi }{{16}}\\
 = \frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{8}.\frac{1}{2}\sin \frac{{3\pi }}{8}\\
 = \frac{1}{4}\sin \frac{\pi }{8}\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{8}} \right)\\
 = \frac{1}{4}\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8} = \frac{1}{8}\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{{16}}
\end{array}\)

---

Chứng minh rằng:

a) \(2\sin \left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \cos 2\alpha \)

b) \(\sin \alpha \left( {1 + \cos 2\alpha } \right) = \sin 2\alpha \cos \alpha \)

c) \(\frac{{1 + \sin 2\alpha  - \cos 2\alpha }}{{1 + \sin 2\alpha  + \cos 2\alpha }} = \tan \alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa)

d) \(\tan \alpha  - \frac{1}{{\tan \alpha }} =  - \frac{2}{{\tan 2\alpha }}\) (khi các biểu thức có nghĩa) 

Hướng dẫn giải: 

Câu a:

\(2\sin \left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \cos 2\alpha  - \cos \frac{\pi }{2} = \cos 2\alpha \)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\sin \alpha \left( {1 + \cos 2\alpha } \right) = \sin \alpha \left( {1 + 2{{\cos }^2}\alpha  - 1} \right)\\
 = 2\sin \alpha {\cos ^2}\alpha  = \sin 2\alpha \cos \alpha 
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\frac{{1 + \sin 2\alpha  - \cos 2\alpha }}{{1 + \sin 2\alpha  + \cos 2\alpha }} = \frac{{\sin 2\alpha \left( {1 - \cos 2\alpha } \right)}}{{\sin 2\alpha \left( {1 + \cos 2\alpha } \right)}}\\
 = \frac{{\sin 2\alpha  + 2{{\sin }^2}\alpha }}{{\sin 2\alpha  + 2{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{2\sin \alpha \left( {\cos \alpha  + \sin \alpha } \right)}}{{2\cos \alpha \left( {\cos \alpha  + \sin \alpha } \right)}} = \tan \alpha 
\end{array}\)

Câu d:

\(\tan \alpha  - \frac{1}{{\tan \alpha }} = 2.\frac{{{{\tan }^2}\alpha  - 1}}{{2\tan \alpha }} =  - \frac{2}{{\tan 2\alpha }}\)

---

Chứng minh rằng:

a) Nếu \(\alpha  + \beta  + \gamma  = k\pi \left( {k \in Z} \right)\) và \(\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma  \ne 0\) thì \(\tan \alpha  + \tan \beta  + \tan \gamma  = \tan \alpha \tan \beta \tan \)

b) Nếu \(0 < \alpha  < \beta  < \gamma  < \frac{\pi }{2}\) và \(\tan \alpha  = \frac{1}{8};\tan \beta  = \frac{1}{5};\tan \gamma  = \frac{1}{2}\) thì \(\alpha  + \beta  + \gamma  = \frac{\pi }{2}\)

c) \(\frac{1}{{\sin {{10}^0}}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos {{10}^0}}} = 4\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\alpha  + \beta  + \gamma  = k\pi  \Rightarrow \tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = \tan \left( {k\pi  - \gamma } \right) =  - \tan \gamma \\
 \Rightarrow \frac{{\tan \alpha  + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} =  - \tan \gamma \\
 \Rightarrow \tan \alpha  + \tan \beta  =  - \tan \gamma \left( {1 - \tan \alpha \tan \beta } \right)\\
 \Rightarrow \tan \alpha  + \tan \beta  + \tan \gamma  = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma 
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha  + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \frac{{\frac{1}{8} + \frac{1}{5}}}{{1 - \frac{1}{8}.\frac{1}{5}}} = \frac{1}{3}\\
 \Rightarrow \tan \left( {\alpha  + \beta  + \gamma } \right) = \frac{{\tan \left( {\alpha  + \beta } \right) + \tan \gamma }}{{1 - \tan \left( {\alpha  + \beta } \right)\tan \lambda }}\\
 = \frac{{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}}} = 1
\end{array}\)

Vì \(0 < \alpha  + \beta  + \gamma  < \frac{{3\pi }}{2}\) nên ta có \(\alpha  + \beta  + \gamma  = \frac{\pi }{4}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{\sin {{10}^0}}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos {{10}^0}}} = \frac{{\cos {{10}^0} - \sqrt 3 \sin {{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}\cos {{10}^0}}}\\
 = \frac{{2\left( {\cos {{60}^0}\cos {{10}^0} - \sin {{60}^0}\sin {{10}^0}} \right)}}{{\sin {{10}^0}\cos {{10}^0}}}\\
 = \frac{{2\cos \left( {{{60}^0} + {{10}^0}} \right)}}{{\frac{1}{2}\sin {{20}^0}}} = \frac{{4\cos {{70}^0}}}{{\cos {{70}^0}}} = 4
\end{array}\)

---

Chứng minh rằng với mọi α, β, γ ta có:

\(\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) + \cos \left( {\beta  + \gamma } \right)\sin \left( {\beta  - \gamma } \right) + \cos \left( {\gamma  + \alpha } \right)\sin \left( {\gamma  - \alpha } \right) = 0\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}
\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) + \cos \left( {\beta  + \gamma } \right)\sin \left( {\beta  - \gamma } \right) + \cos \left( {\gamma  + \alpha } \right)\sin \left( {\gamma  - \alpha } \right)\\
 = \frac{1}{2}\left( {\sin 2\alpha  - \sin 2\beta } \right) + \frac{1}{2}\left( {\sin 2\beta  - \sin 2\gamma } \right) + \frac{1}{2}\left( {\sin 2\gamma  - \sin 2\alpha } \right) = 0
\end{array}\)

---

Nếu \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{1}{2}\) thì \(\sin 2\alpha \) bằng:

(A) \(\frac{3}{8}\)

(B)  \(-\frac{3}{4}\)

(C) \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

(D)  \(\frac{3}{4}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{1}{2} \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha  = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin 2\alpha  =  - \frac{3}{4}\)

Chọn (B)

---

Với mọi \(\alpha\), \(\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + \alpha } \right)\) bằng:

(A) sin α

(B) - sin α

(C) - cos α

(D) cos α

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + \alpha } \right) = \sin \left( {\pi  + \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) =  - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) =  - \cos \alpha \)

Chọn (C)

---

\(\frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{{15}} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{{15}}}}\) bằng

(A) \(\sqrt 3 \)

(B) 1

(C) - 1

(D) \(\frac{1}{2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{{15}} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{{15}}}}\\
 = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{{15}} + \frac{\pi }{{10}}} \right)}}{{\cos \left( {\frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{\pi }{{15}}} \right)}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{6}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}} = 1
\end{array}\)

Chọn (B)

---

\(\cos \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}}\) bằng

(A) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

(B) \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\)

(C) \(\frac{1}{2}\)

(D) \(-\frac{1}{4}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\cos \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos \frac{\pi }{2}} \right) =  - \frac{1}{4}\)

Chọn (D)

---

\(\sin \frac{{{{90}^0}}}{4}{\rm{cos}}\frac{{{{270}^0}}}{4}\) bằng:

(A) \(\frac{1}{2}\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

(B) \(\frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1} \right)\)

(C) \(\frac{1}{2}\left( {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

(D) \(\sqrt 2  - 1\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\sin \frac{{{{90}^0}}}{4}{\rm{cos}}\frac{{{{270}^0}}}{4} = \frac{1}{2}\left( {\sin {{90}^0} - \sin {{45}^0}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

Chọn (A)

---

\(\frac{{\cos {{80}^0} - \cos {{20}^0}}}{{\sin {{40}^0}\cos {{10}^0} + \sin {{10}^0}\cos {{40}^0}}}\) bằng:

(A) 1

(B) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

(C) - 1

(D) \(-\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\frac{{\cos {{80}^0} - \cos {{20}^0}}}{{\sin {{40}^0}\cos {{10}^0} + \sin {{10}^0}\cos {{40}^0}}}\\
 =  - \frac{{2\sin {{50}^0}\sin {{30}^0}}}{{\sin \left( {{{40}^0} + {{10}^0}} \right)}} =  - 2\sin {30^0} =  - 1
\end{array}\)

Chọn (C)

---

Góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà góc uOv là góc nhọn thì:

(A) \(0 \le \alpha  \le \frac{\pi }{2}\)

(B) \( - \frac{\pi }{2} \le \alpha  \le \frac{\pi }{2}\)

(C) \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  \le 0\)

(D) Có số nguyên k để \( - \frac{\pi }{2} + k2\pi  < \alpha  < \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

Hướng dẫn giải:

Chọn (D)

---

Góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà góc uOv là góc tù thì:

(A) Có số nguyên k để \(\frac{\pi }{2} + k2\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \)

(B) \( - \pi  \le \alpha  \le \frac{{ - \pi }}{2}\)

(C) \( - \frac{\pi }{2}   \le \alpha  \le \frac{{3\pi }}{2}  \)

(D) \(\frac{\pi }{2} < \alpha  \le \pi \)

Hướng dẫn giải:

Chọn (A)

---

Với góc lượng giác (OA, OM) có số đo α, xét góc lượng giác (OA, ON) có 1 số đo \(\frac{\alpha }{2}\) (M và N cùng nằm trên đường trọn lượng giác gốc A). Khi đó, với mọi α sao cho M nằm trong góc phần tư thứ III của hệ tọa độ gắn với đường tròn đó (M không nằm trên trục tọa độ), điểm N luôn.

(A) nằm trong góc phần tư I

(B) nằm trong góc phần tư II

(C) nằm trong góc phần tư III

(D) không nằm trong góc phần tư I và III

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\pi  + k2\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi ,k \in Z \Rightarrow \frac{\pi }{2} + k\pi  < \frac{\alpha }{2} < \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \)

• Nếu k chẵn thì N nằm trong góc phần tư thứ II
• Nếu k lẻ thì N nằm trong góc phần tư thứ IV

Chọn (D)

---

Với góc lượng giác (OA, OM) có số đo ∝, xét góc lượng giác (OA, ON) có số đo 2∝ (M và N cùng nằm trên đường tròn lượng giác gốc A). Khi đó, với mọi ∝ so cho M nằm trong góc phần tư I của hệ tọa độ gắn với đường tròn đó (M không nằm trên trục tọa độ), điểm N luôn:

(A) nằm trong góc phần tư I

(B) nằm trong góc phần tư II

(C) nằm trong góc phần tư III

(D) không nằm trong góc phần tư IV

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(k2\pi  < \alpha  < \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Rightarrow k4\pi  < 2\alpha  < \pi  + k4\pi \)

Chọn (D)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Ôn tập Chương 6 với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.