Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 6 Bài 3 Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai:

a) Khi α đổi dấu (tức thay α bởi - α ) thì cos α và sin α đổi dấu còn tan α không đổi dấu

b) Với mọi α thì sin α = 2 sinα

c) Với mọi α, $\left|\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)-\cos \left(\alpha +\pi \right)\right|+\left|\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)+\sin \left(\alpha -\pi \right)\right|=0$

d) Nếu $\cos \alpha \ne 0$ thì $\frac{\cos \left(-5\alpha \right)}{\cos \alpha }=\frac{-5\alpha }{\alpha }=-5$

e) ${\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}=1$

g) $\sin \frac{\pi }{10}=\cos \frac{2\pi }{5}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Sai vì đổi α thành –α thì cos α không đổi dấu, sin α và tan α đổi dấu

Câu b:

Sai vì với $\alpha =\frac{\pi }{4};\sin 2\alpha =1;2\sin \alpha =\sqrt{2}$

Câu c:

Đúng. Vì $\{\begin{array}{l}\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \alpha \\ \cos \left(\alpha +\pi \right)=-\cos \alpha \end{array}$

Nên:

$\{\begin{array}{l}\left|\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)-\cos \left(\alpha +\pi \right)\right|=0\\ \left|\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)+\sin \left(\alpha -\pi \right)\right|=0\end{array}$

Câu d:

Sai. vì với $\alpha =\pi$ thì $\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(-5\alpha \right)}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha }=-1$

Câu e:

Đúng. Vì $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{3\pi }{8}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{8}\right)=\sin \frac{\pi }{8}$

nên $\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\frac{\pi }{8}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\frac{3\pi }{8}=1$

Câu g:

Đúng. Vì $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{2\pi }{5}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{10}\right)=\sin \frac{\pi }{10}$

---

Tìm các mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc cung α và $\alpha -\frac{3\pi }{2}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}\cos \left(\alpha -\frac{3\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \left(\pi +\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=-\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=-\sin \alpha \\ \sin \left(\alpha -\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=-\sin \left(\pi +\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha \\ \tan \left(\alpha -\frac{3\pi }{2}\right)=-\cot \alpha \left(\alpha \ne k\pi ;k\in Z\right)\\ \cot \left(\alpha -\frac{3\pi }{2}\right)=-\tan \alpha \left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in Z\right)\end{array}$

---

Tính:

a) sin²10⁰ + sin²20⁰ + sin² 30⁰ + .... + sin² 80⁰  (8 số hạng)

b) cos10⁰ + cos 20⁰ + cos 30⁰ + ....+ cos 180⁰ ( 18 số hạng)

c) cos 315⁰ + sin 330⁰ + sin250⁰ – cos 160⁰

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

sin 80⁰ = sin (90⁰ – 10⁰) = cos 10⁰

sin 70⁰ = cos 20⁰; sin 60⁰ = cos 30⁰; sin 50⁰ = cos 40⁰

Do đó:

sin²10⁰ + sin²20⁰ + sin² 30⁰ + .... + sin² 80⁰ 

= (sin²10⁰ + sin² 80⁰) + (sin²20⁰ + sin²70⁰) + (sin²30⁰ + sin²60⁰)  + (sin²40⁰ + sin²50⁰)

= (sin²10⁰ + cos²10⁰) + (sin²20⁰ + cos²20⁰) + ( sin²30⁰ + cos²30⁰)  + ( sin²40⁰ + cos²40⁰)

= 4

Câu b:

Ta có:

cos10⁰ + cos 20⁰ + cos 30⁰ + ....+ cos 180⁰

= (cos10⁰ + cos 170⁰) + (cos 20⁰ + cos 160⁰) + .... + (cos 80⁰ + cos 100⁰ ) + cos 90⁰ + cos 180⁰

=  - 1 (do cos a + cos (180⁰ – a) = cos a – cos a = 0)

Câu c:

Ta có:

cos 315⁰  = cos (- 45⁰) = cos 45⁰ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

sin 330⁰  = - sin 30⁰ = $-\frac{1}{2}$

sin 250⁰ = sin (-110⁰) = - sin 110⁰ = - sin (90⁰ + 20⁰) = - cos 20⁰

cos 160⁰ = cos (180⁰ – 20⁰)  = - cos 20⁰

Vậy: cos 315⁰ + sin 330⁰ + sin250⁰ – cos 160⁰  = $\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}$

---

Dùng bảng tính sin, cos (hoặc dùng máy tính bỏ túi) để tính giá trị sau (chính xác đến hàng phần nghìn). cos (- 250⁰);  sin520⁰  và $\sin \frac{11\pi }{10}$

Hướng dẫn giải:

cos (- 250⁰) = cos 250⁰ = cos (180⁰ + 70⁰) = - cos 70⁰

= - cos (90⁰ – 20⁰) = - sin 20⁰ ≈ 0, 342

sin 520⁰ = sin (360⁰ + 160⁰) = sin160⁰

= sin (180⁰ – 20⁰) = sin 20⁰ ≈ 0, 342

$\begin{array}{l}\sin \frac{11\pi }{10}=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{10}\right)\\ =-\sin \frac{\pi }{10}=-\sin \frac{\pi }{10}=-\sin {18}^0\approx 0,309\end{array}$

---

Xét hệ tọa độ vuông góc Oxy gắn với đường tròn lượng giác kiểm nghiệm rằng điểm M với tọa độ $\left(-\frac{4}{5};\frac{3}{5}\right)$ nằm trên đường tròn lượng giác đó. Giả sử điểm M xác định bới số α . Tìm tọa độ các điểm xác định bởi các số: π - α ; π + α ; $\frac{\pi }{2}$ - α và $\frac{\pi }{2}$ + α.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $x_M^2+y_M^2={\left(-\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1$ nên $M\left(\frac{-4}{5};\frac{3}{5}\right)$ nằm trên đường tròn lượng giác.

Ta có $\cos \alpha =-\frac{4}{5};\sin \alpha =\frac{3}{5}$

$\ast \{\begin{array}{l}\cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha =\frac{4}{5}\\ \sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha =\frac{3}{5}\end{array}$

Vậy tọa độ xác định điểm bởi số π – α là $\left(\frac{4}{5};\frac{3}{5}\right)$

$\ast \{\begin{array}{l}\cos \left(\pi +\alpha \right)=-\cos \alpha =\frac{4}{5}\\ \sin \left(\pi +\alpha \right)=-\sin \alpha =-\frac{3}{5}\end{array}$

Vậy tọa độ xác định điểm bởi số π + α là $\left(\frac{4}{5};-\frac{3}{5}\right)$

$\ast \{\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha =\frac{3}{5}\\ \sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha =-\frac{4}{5}\end{array}$

Vậy tọa độ xác định điểm bởi số $\frac{\pi }{2}-\alpha$ là $\left(\frac{3}{5};-\frac{4}{5}\right)$

$\ast \{\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha =-\frac{3}{5}\\ \sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha =-\frac{4}{5}\end{array}$

Vậy tọa độ xác định điểm bởi số $\frac{\pi }{2}+\alpha$ là $\left(-\frac{3}{5};-\frac{4}{5}\right)$

---

Biết tan ${15}^0=2-\sqrt{3}$.

Hãy tính các giá trị lượng giác của góc - 75⁰

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{\cos }^2{15}^0=\frac{1}{1+{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}15^0=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\\ \sin {15}^0=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\end{array}$

Vì ${75}^0={90}^0-{15}^0$ nên:

$\begin{array}{l}\cos \left(-{75}^0\right)=\cos {75}^0=\sin {15}^0=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\\ \sin \left(-{75}^0\right)=-\sin \left({90}^0-{15}^0\right)=-\cos {15}^0=-\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\\ \tan \left(-{75}^0\right)=-\cot {15}^0=\frac{1}{\sqrt{3}-2}=-\left(\sqrt{3}+2\right)\\ \cot \left(-{75}^0\right)=-\tan {15}^0=\sqrt{3}-2\end{array}$

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 6 Bài 3 Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.