Bài 24 trang 205 SGK Toán 10 nâng cao
Mỗi khẳng định sau đúng hay sai:
a) Khi α đổi dấu (tức thay α bởi - α ) thì cos α và sin α đổi dấu còn tan α không đổi dấu
b) Với mọi α thì sin α = 2 sinα
c) Với mọi α, \(\left| {\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) - \cos \left( {\alpha + \pi } \right)} \right| + \left| {\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\alpha - \pi } \right)} \right| = 0\)
d) Nếu \(\cos \alpha \ne 0\) thì \(\frac{{\cos \left( { - 5\alpha } \right)}}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - 5\alpha }}{\alpha } = - 5\)
e) \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} = 1\)
g) \(\sin \frac{\pi }{{10}} = \cos \frac{{2\pi }}{5}\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Sai vì đổi α thành –α thì cos α không đổi dấu, sin α và tan α đổi dấu
Câu b:
Sai vì với \(\alpha = \frac{\pi }{4};\sin 2\alpha = 1;2\sin \alpha = \sqrt 2 \)
Câu c:
Đúng. Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \alpha \\
\cos \left( {\alpha + \pi } \right) = - \cos \alpha
\end{array} \right.\)
Nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\left| {\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) - \cos \left( {\alpha + \pi } \right)} \right| = 0\\
\left| {\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\alpha - \pi } \right)} \right| = 0
\end{array} \right.\)
Câu d:
Sai. vì với \(\alpha = \pi \) thì \(\frac{{{\rm{cos}}\left( { - 5\alpha } \right)}}{{{\rm{cos}}\alpha }} = - 1\)
Câu e:
Đúng. Vì \({\rm{cos}}\frac{{3\pi }}{8} = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{8}} \right) = \sin \frac{\pi }{8}\)
nên \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\frac{\pi }{8}{\rm{ + co}}{{\rm{s}}^2}\frac{{3\pi }}{8} = 1\)
Câu g:
Đúng. Vì \({\rm{cos}}\frac{{2\pi }}{5} = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{{10}}} \right) = \sin \frac{\pi }{{10}}\)
Bài 25 trang 205 SGK Toán 10 nâng cao
Tìm các mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc cung α và \(\alpha - \frac{{3\pi }}{2}\)
Hướng dẫn giải:
\(\begin{array}{l}
\cos \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) = \cos \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \sin \alpha \\
\sin \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) = - \sin \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \\
\tan \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = - \cot \alpha \left( {\alpha \ne k\pi ;k \in Z} \right)\\
\cot \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = - \tan \alpha \left( {\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z} \right)
\end{array}\)
Bài 26 trang 205 SGK Toán 10 nâng cao
Tính:
a) sin2100 + sin2200 + sin2 300 + .... + sin2 800 (8 số hạng)
b) cos100 + cos 200 + cos 300 + ....+ cos 1800 ( 18 số hạng)
c) cos 3150 + sin 3300 + sin2500 – cos 1600
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có:
sin 800 = sin (900 – 100) = cos 100
sin 700 = cos 200; sin 600 = cos 300; sin 500 = cos 400
Do đó:
sin2100 + sin2200 + sin2 300 + .... + sin2 800
= (sin2100 + sin2 800) + (sin2200 + sin2700) + (sin2300 + sin2600) + (sin2400 + sin2500)
= (sin2100 + cos2100) + (sin2200 + cos2200) + ( sin2300 + cos2300) + ( sin2400 + cos2400)
= 4
Câu b:
Ta có:
cos100 + cos 200 + cos 300 + ....+ cos 1800
= (cos100 + cos 1700) + (cos 200 + cos 1600) + .... + (cos 800 + cos 1000 ) + cos 900 + cos 1800
= - 1 (do cos a + cos (1800 – a) = cos a – cos a = 0)
Câu c:
Ta có:
cos 3150 = cos (- 450) = cos 450 = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
sin 3300 = - sin 300 = \( - \frac{1}{2}\)
sin 2500 = sin (-1100) = - sin 1100 = - sin (900 + 200) = - cos 200
cos 1600 = cos (1800 – 200) = - cos 200
Vậy: cos 3150 + sin 3300 + sin2500 – cos 1600 = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{1}{2}\)
Bài 27 trang 206 SGK Toán 10 nâng cao
Dùng bảng tính sin, cos (hoặc dùng máy tính bỏ túi) để tính giá trị sau (chính xác đến hàng phần nghìn). cos (- 2500); sin5200 và \(\sin \frac{{11\pi }}{{10}}\)
Hướng dẫn giải:
cos (- 2500) = cos 2500 = cos (1800 + 700) = - cos 700
= - cos (900 – 200) = - sin 200 ≈ 0, 342
sin 5200 = sin (3600 + 1600) = sin1600
= sin (1800 – 200) = sin 200 ≈ 0, 342
\(\begin{array}{l}
\sin \frac{{11\pi }}{{10}} = \sin \left( {\pi + \frac{\pi }{{10}}} \right)\\
= - \sin \frac{\pi }{{10}} = - \sin \frac{\pi }{{10}} = - \sin {18^0} \approx 0,309
\end{array}\)
Bài 28 trang 206 SGK Toán 10 nâng cao
Xét hệ tọa độ vuông góc Oxy gắn với đường tròn lượng giác kiểm nghiệm rằng điểm M với tọa độ \(\left( { - \frac{4}{5};\frac{3}{5}} \right)\) nằm trên đường tròn lượng giác đó. Giả sử điểm M xác định bới số α . Tìm tọa độ các điểm xác định bởi các số: π - α ; π + α ; \(\frac{\pi }{2}\) - α và \(\frac{\pi }{2}\) + α.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(x_M^2 + y_M^2 = {\left( { - \frac{4}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = 1\) nên \(M\left( {\frac{{ - 4}}{5};\frac{3}{5}} \right)\) nằm trên đường tròn lượng giác.
Ta có \(\cos \alpha = - \frac{4}{5};\sin \alpha = \frac{3}{5}\)
\(*\left\{ \begin{array}{l}
\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha = \frac{4}{5}\\
\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \sin \alpha = \frac{3}{5}
\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ xác định điểm bởi số π – α là \(\left( {\frac{4}{5};\frac{3}{5}} \right)\)
\(*\left\{ \begin{array}{l}
\cos \left( {\pi + \alpha } \right) = - \cos \alpha = \frac{4}{5}\\
\sin \left( {\pi + \alpha } \right) = - \sin \alpha = - \frac{3}{5}
\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ xác định điểm bởi số π + α là \(\left( {\frac{4}{5};-\frac{3}{5}} \right)\)
\(*\left\{ \begin{array}{l}
\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha = \frac{3}{5}\\
\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha = - \frac{4}{5}
\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ xác định điểm bởi số \(\frac{\pi }{2} - \alpha \) là \(\left( {\frac{3}{5};-\frac{4}{5}} \right)\)
\(*\left\{ \begin{array}{l}
\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = - \sin \alpha = - \frac{3}{5}\\
\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \cos \alpha = - \frac{4}{5}
\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ xác định điểm bởi số \(\frac{\pi }{2} + \alpha \) là \(\left( {-\frac{3}{5};-\frac{4}{5}} \right)\)
Bài 29 trang 206 SGK Toán 10 nâng cao
Biết tan \({15^0} = 2 - \sqrt 3 \).
Hãy tính các giá trị lượng giác của góc - 750
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}{15^0} = \frac{1}{{1 + {{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}\\
{\rm{cos1}}{{\rm{5}}^0} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{2\sqrt 2 }}\\
\sin {15^0} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{2\sqrt 2 }}
\end{array}\)
Vì \({75^0} = {90^0} - {15^0}\) nên:
\(\begin{array}{l}
\cos \left( { - {{75}^0}} \right) = \cos {75^0} = \sin {15^0} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{2\sqrt 2 }}\\
\sin \left( { - {{75}^0}} \right) = - \sin \left( {{{90}^0} - {{15}^0}} \right) = - \cos {15^0} = - \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{2\sqrt 2 }}\\
\tan \left( { - {{75}^0}} \right) = - \cot {15^0} = \frac{1}{{\sqrt 3 - 2}} = - \left( {\sqrt 3 + 2} \right)\\
\cot \left( { - {{75}^0}} \right) = - \tan {15^0} = \sqrt 3 - 2
\end{array}\)
Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 6 Bài 3 Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.
