Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 6 Luyện tập (trang 201)

Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:

${225}^0;-{225}^0;{750}^0;-{510}^0;\frac{5\pi }{3};\frac{11\pi }{6};\frac{-10\pi }{3};-\frac{17\pi }{3}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}\ast \sin {225}^0=\sin \left({45}^0+{180}^0\right)=-\sin {45}^0=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos {225}^0=\cos \left({45}^0+{180}^0\right)=-\cos {45}^0=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan {225}^0=\cot {225}^0=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\ast \sin \left(-{225}^0\right)=\sin \left(-{45}^0-{180}^0\right)=\sin {45}^0=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos \left(-{225}^0\right)=\cos \left(-{45}^0-{180}^0\right)=\cos \left({45}^0+{180}^0\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(-{225}^0\right)=\cot \left(-{225}^0\right)=-1\end{array}$

$\begin{array}{l}\ast \sin {750}^0=\sin \left({30}^0+{2.360}^0\right)=\sin {30}^0=\frac{1}{2}\\ \cos {750}^0=\cos \left({30}^0+{2.360}^0\right)=\cos {30}^0=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan {750}^0=\frac{\sin {750}^0}{\cos {750}^0}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \cot {750}^0=\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}\ast \sin \left(-{510}^0\right)=\sin \left(-{150}^0-{360}^0\right)=\sin \left(-{150}^0\right)=-\frac{1}{2}\\ \cos \left(-{510}^0\right)=\cos \left(-{150}^0\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan \left(-{510}^0\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \cot \left(-{510}^0\right)=\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}\ast \sin \frac{5\pi }{3}=\sin \left(-\frac{\pi }{3}+2\pi \right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos \frac{5\pi }{3}=\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\\ \tan \frac{5\pi }{3}=-\sqrt{3}\\ \cot \frac{5\pi }{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\ast \sin \frac{11\pi }{6}=\sin \left(-\frac{\pi }{6}+2\pi \right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}\\ \cos \frac{11\pi }{6}=\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan \frac{11\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \cot \frac{11\pi }{6}=-\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}\ast \sin \left(-\frac{10\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{2\pi }{3}-4\pi \right)=\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos \left(-\frac{10\pi }{3}\right)=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}\\ \tan \left(-\frac{10\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}\\ \cot \left(-\frac{10\pi }{3}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\ast \sin \left(-\frac{17\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}-6\pi \right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos \left(-\frac{17\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\\ \tan \left(-\frac{17\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\\ \cot \left(-\frac{17\pi }{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$

Xét góc lượng giác (OA; OM) = α, trong đó M là điểm không nằm trên các trục tọa độ Ox, Oy. Hãy lập bảng dấu của sinα,cosα,tanα theo vị trí M thuộc góc phần tư thứ I, II, III, IV xác định bởi hệ tọa độ Oxy. Hỏi M trong góc phần tư nào thì.

a) sinα ,cosα cùng dấu

b) sinα ,tanα khác dấu

Hướng dẫn giải:

Ta có bảng:

Câu a:

M trong các góc phần tư I, III thì sinα và cosα cùng dấu (tanα > 0)

Câu b:

M trong các góc phần tư II, III thì sinα, tanα khác dấu (tức cosα < 0)

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$

b) $1-{\cot }^4\alpha =\frac{2}{{\sin }^2\alpha }-\frac{1}{{\sin }^4\alpha }\left(\sin \alpha \ne 0\right)$

c) $\frac{1+{\sin }^2\alpha }{1-{\sin }^2\alpha }=1+2{\tan }^2\alpha \left(\sin \alpha \ne \pm 1\right)$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có

$\begin{array}{l}VT={\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha =\left({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha \right).\left({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \right)={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \\ ={\cos }^2\alpha -\left(1-{\cos }^2\alpha \right)=2{\cos }^2\alpha -1=VP\end{array}$

Câu b:

$\begin{array}{l}VT=1-{\cot }^4\alpha =\left(1+{\cot }^2\alpha \right).\left(1-{\cot }^2\alpha \right)\\ =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(\frac{{\sin }^2\alpha -\left(1-{\sin }^2\alpha \right)}{{\sin }^2\alpha }\right)=\frac{2{\sin }^2\alpha -1}{{\sin }^4\alpha }=\frac{2}{{\sin }^2\alpha }-\frac{1}{{\sin }^4\alpha }=VP\end{array}$

Câu c:

$VT=\frac{1+{\sin }^2\alpha }{1-{\sin }^2\alpha }=\frac{1+{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+{\tan }^2\alpha =1+2{\tan }^2\alpha =VP$

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α

a) $\sqrt{{\sin }^4\alpha +4\left(1-{\sin }^2\alpha \right)}+\sqrt{{\cos }^4\alpha +4{\sin }^2\alpha }$

b) $2\left({\sin }^6\alpha +{\cos }^6\alpha \right)-3\left({\cos }^4\alpha +{\sin }^4\alpha \right)$

c) $\frac{2}{\tan \alpha -1}+\frac{\cot \alpha +1}{\cot \alpha -1}\left(\tan \alpha \ne 1\right)$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\begin{array}{l}\sqrt{{\sin }^4\alpha +4\left(1-{\sin }^2\alpha \right)}+\sqrt{{\cos }^4\alpha +4{\sin }^2\alpha }\\ =\sqrt{{\left(2-{\sin }^2\alpha \right)}^2}+\sqrt{{\left(2-{\cos }^2\alpha \right)}^2}\\ =2-{\sin }^2\alpha +2-{\cos }^2\alpha \left({\sin }^2\alpha ,{\cos }^2\alpha \le 1\right)\\ =4-\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)=4-1=3\end{array}$

Câu b:

$\begin{array}{l}2\left({\sin }^6\alpha +{\cos }^6\alpha \right)-3\left({\cos }^4\alpha +{\sin }^4\alpha \right)\\ =2-6{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha -3\left(1-2{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha \right)\\ =2-3=-1\end{array}$

Câu c:

$\begin{array}{l}\frac{2}{\tan \alpha -1}+\frac{\cot \alpha +1}{\cot \alpha -1}\\ =\frac{2}{\frac{1}{\cot \alpha }-1}+\frac{\cot \alpha +1}{\cot \alpha -1}\\ =\frac{2\cot \alpha }{1-\cot \alpha }+\frac{\cot \alpha +1}{\cot \alpha -1}=\frac{\cot \alpha -1}{1-\cot \alpha }=-1\end{array}$

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 6 Luyện tập (trang 201) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.