Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 6 Luyện tập (trang 206, 207)

Hỏi các góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo như sau: 2594o; -646o; -2446o và 74o thì có cùng tia cuối không?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

2594⁰ = 74⁰ + 7.360⁰

- 646⁰ = 74⁰ – 2.360⁰

- 2246⁰ = 74⁰ - 7.360⁰

Do đó, các góc lượng giác trên có cùng tia cuối.

---

Xác định dấu của  các giá trị lượng giác sau:

\(\cos {250^0};\tan \left( { - {{672}^0}} \right);\tan \frac{{31\pi }}{8};\sin \left( { - {{1050}^0}} \right);\cos \frac{{16\pi }}{5}\)

Hướng dẫn giải:

Do 180⁰ < 250⁰ < 270⁰ nên cos 250⁰ < 0 

\(\begin{array}{l}
\tan \left( { - {{672}^0}} \right) =  - \tan {672^0} =  - \tan \left( { - {{48}^0} + {{2.360}^0}} \right) = \tan {48^0} > 0\\
\tan \frac{{31\pi }}{8} = \tan \left( { - \frac{\pi }{8} + 4\pi } \right) = \tan \left( { - \frac{\pi }{8}} \right) =  - \tan \frac{\pi }{8} < 0\\
\sin \left( { - {{1050}^0}} \right) = \sin \left( {{{30}^0} - {{3.360}^0}} \right) = \sin {30^0} = \frac{1}{2} > 0\\
\cos \frac{{16\pi }}{5} = \cos \left( {3\pi  - \frac{\pi }{5}} \right) =  - \cos \frac{\pi }{5} < 0
\end{array}\)

---

Hãy tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\sin \alpha  = \frac{4}{5};\cos \alpha  < 0\)

b) \(\cos \alpha  =  - \frac{8}{{17}};\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \)

c) \(\tan \alpha  = \sqrt 3 ;\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Vì \(\cos \alpha  < 0\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}
\cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - \frac{{16}}{{25}}}  =  - \frac{3}{5}\\
\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} =  - \frac{4}{3}\\
\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} =  - \frac{3}{4}
\end{array}\)

Câu b:

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \sin \alpha  > 0\) nên:

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{8}{{17}}} \right)}^2}}  = \frac{{15}}{{17}}\\
\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} =  - \frac{{15}}{8}\\
\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} =  - \frac{8}{{15}}
\end{array}\)

Câu c:

Vì \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \cos \alpha  < 0\) nên:

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }} =  - \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} =  - \frac{1}{2}\\
\sin \alpha  = \tan \alpha .\cos \alpha  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)

---

Tính

a) Tính \(\sin \frac{{25\pi }}{6} + \cos \frac{{25\pi }}{3} + \tan \left( { - \frac{{25\pi }}{4}} \right)\)

b) Biết \(\sin \left( {\pi  + \alpha } \right) =  - \frac{1}{3}\), hãy tính \(\cos \left( {2\pi  - \alpha } \right)\), \(\tan \left( {\alpha  - 7\pi } \right)\) và \(\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\sin \frac{{25\pi }}{6} = \sin \left( {4\pi  + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\\
\cos \frac{{25\pi }}{3} = \cos \left( {8\pi  + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\\
\tan \left( { - \frac{{25\pi }}{4}} \right) =  - \tan \left( {6\pi  + \frac{\pi }{4}} \right) =  - \tan \frac{\pi }{4} =  - 1\\
 \Rightarrow \sin \frac{{25\pi }}{6} + \cos \frac{{25\pi }}{3} + \tan \left( { - \frac{{25\pi }}{4}} \right) = 0
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {\pi  + \alpha } \right) =  - \frac{1}{3} \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{1}{3}\\
\cos \left( {2\pi  - \alpha } \right) = \cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha  =  \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\
\tan \left( {\alpha  - 7\pi } \right) = \tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} =  \pm \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\\
\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) = \sin \left( {\pi  + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) =  - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha  =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}
\end{array}\)

---

Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{1 - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{1 - \tan \alpha }}{{1 + \tan \alpha }}\)

b) \({\tan ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha  = {\tan ^2}\alpha .{\sin ^2}\)

c) \(2\left( {1 - \sin \alpha } \right)\left( {1 + \cos \alpha } \right) = {\rm{ }}{\left( {1 - \sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\frac{{1 - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\left( {\cos \alpha  - \sin \alpha } \right)}^2}}}{{\left( {\cos \alpha  - \sin \alpha } \right)\left( {\cos \alpha  + \sin \alpha } \right)}}\\
 = \frac{{\cos \alpha  - \sin \alpha }}{{\cos \alpha  + \sin \alpha }} = \frac{{\cos \alpha \left( {1 - \tan \alpha } \right)}}{{\cos \alpha \left( {1 + \tan \alpha } \right)}} = \frac{{1 - \tan \alpha }}{{1 + \tan \alpha }}
\end{array}\)

Câu b:

\({\tan ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha  = {\tan ^2}\alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) = {\tan ^2}\alpha .{\sin ^2}\alpha \)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
2\left( {1 - \sin \alpha } \right)\left( {1 + \cos \alpha } \right)\\
 = 2 - 2\sin \alpha  + 2\cos \alpha  - 2\sin \alpha \cos \alpha \\
 = 1 + {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  - 2\sin \alpha  + 2\cos \alpha  - 2\sin \alpha \cos \alpha \\
 = {\left( {1 - \sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2}
\end{array}\)

---

Biết \(\sin \alpha  - \cos \alpha  = m\), hãy tính \({\sin ^3}\alpha  - {\cos ^3}\alpha \)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^3}\alpha  - {\cos ^3}\alpha \\
 = \left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha  + \sin \alpha \cos \alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)\\
 = m\left( {1 + \sin \alpha \cos \alpha } \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)

Từ \(\sin \alpha  - \cos \alpha  = m \Rightarrow 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha  = {m^2}\)

\( \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha  = \frac{{1 - {m^2}}}{2}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Thay (2) vào (1) ta được: \({\sin ^3}\alpha  - {\cos ^3}\alpha  = m\left( {1 + \frac{{1 - {m^2}}}{2}} \right) = \frac{m}{2}\left( {3 - {m^2}} \right)\)

---

Với số \(\alpha ,\,0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\), xét điểm M của đường tròn lượng giác xác định bởi 2α, rồi xét tam giác vuông A’MA (A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn).

a) Tính AM² bằng hai cách khác nhau để suy ra: cos2α = 1 – 2sin²α

b) Tính diện tích tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy ra: sin2α = 2sinα cosα

c) Chứng minh: \(\sin \frac{\pi }{8} = \frac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } ;\cos \frac{\pi }{8} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \) rồi tính các giá trị lượng giác của các góc \(\frac{{3\pi }}{8}\) và \(\frac{{5\pi }}{8}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
A{M^2} = \overline {AH} .\overline {AA'}  = \left( {\overline {AO}  + \overline {OH} } \right).\overline {AA'} \\
 = \left( { - 1 + \cos 2\alpha } \right).\left( { - 2} \right) = 2\left( {1 - \cos 2\alpha } \right)
\end{array}\)

Ta lại có: \(A{M^2} = AA{'^2}.{\sin ^2}\alpha  = 4{\sin ^2}\alpha  \Rightarrow 2{\sin ^2}\alpha  = 1 - \cos 2\alpha \)

Câu b:

Ta có: \({S_{A'MA}} = \frac{1}{2}AA'.MH = MH = \sin 2\alpha \)

Lại có: \({S_{A'MA}} = \frac{1}{2}A'M.AM = \frac{1}{2}A'A.\cos \alpha .A'A.\sin \alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Vậy \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Câu c:

Ta có \(\cos \frac{\pi }{4} = 1 - 2{\sin ^2}\frac{\pi }{8}\) nên:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\\
\sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\\
\cos \frac{\pi }{4} = 2{\cos ^2}\frac{\pi }{8} - 1 \Rightarrow {\cos ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \cos \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}
\end{array}\)

Vì \(\frac{{3\pi }}{8} = \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{8}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \frac{{3\pi }}{8} = \sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\\
\sin \frac{{3\pi }}{8} = \cos \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}\\
\tan \frac{{3\pi }}{8} = \cot \frac{\pi }{8} = \sqrt 2  + 1\\
\cot \frac{{3\pi }}{8} = \tan \frac{\pi }{8} = \sqrt 2  - 1
\end{array} \right.\)

Vì \(\frac{{5\pi }}{8} = \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{8}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \frac{{5\pi }}{8} =  - \sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\\
\sin \frac{{5\pi }}{8} = \cos \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}\\
\tan \frac{{5\pi }}{8} =  - \cot \frac{\pi }{8} =  - \sqrt 2  - 1\\
\cot \frac{{5\pi }}{8} =  - \tan \frac{\pi }{8} = 1 - \sqrt 2 
\end{array} \right.\)

---

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \left( {Ox,OP} \right) = \frac{2}{{\sqrt {13} }}\\
\sin \left( {Ox,OP} \right) =  - \frac{3}{{\sqrt {13} }}
\end{array} \right.\) 

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 6 Luyện tập (trang 206, 207) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.