Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 6 Bài 4 Một số công thức lượng giác

Hỏi mỗi khẳng định sau đây có đúng không? ∀α,∀β ta có:

$\begin{array}{l}a)2\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha +\cos \beta \\ b)\sin \left(\alpha -\beta \right)=\sin \alpha -\sin \beta \\ c)\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha .\cos \beta +\cos \alpha .\sin \beta \\ d)\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos \alpha .\cos \beta -\sin \alpha .\sin \beta \\ e)\frac{\sin 4\alpha }{\cos 2\alpha }=\tan 2\alpha \\ f){\sin }^2\alpha =\sin 2\alpha \end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Sai. vì nếu $\beta =0$ thì $\cos \alpha +1$ (vô lý)

Câu b:

Sai. Vì nếu lấy $\alpha =\frac{\pi }{2};\beta =-\frac{\pi }{2}$ thì $\sin \pi =2\sin \frac{\pi }{2}$ (vô lý)

Câu c:

Đúng

Câu d:

Sai. Vì nếu lấy $\alpha =\frac{\pi }{4};\beta =-\frac{\pi }{4}$ thì ${\cos }^2\frac{\pi }{4}-{\sin }^2\frac{\pi }{4}\iff 1=0$ (vô lý)

Câu e:

Sai. Vì nếu lấy $\alpha =\frac{\pi }{8}\Rightarrow \frac{\sin \frac{\pi }{2}}{\cos \frac{\pi }{4}}=\tan \frac{\pi }{4}\iff \sqrt{2}=1$ (vô lý)

Câu f:

Sai. Vì nếu lấy $\alpha =\frac{\pi }{2}\Rightarrow {\sin }^2\frac{\pi }{2}=\sin \pi \iff 1=0$ (vô lý)

---

Sử dụng 75⁰ = 45⁰ + 30⁰, hãy tính giá trị lượng giác của góc 750

Sử dụng 15⁰ = 45⁰ - 30⁰, hãy tính giá trị lượng giác của góc 150. (đối chiếu với kết quả bài tập 29)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

$\cos {75}^0=\cos \left({45}^0+{30}^0\right)=\cos {45}^0.\cos {30}^0-\sin {45}^0.\sin {30}^0=\frac{\sqrt{2}}{4}\left(\sqrt{3}-1\right)$

$\begin{array}{l}\sin {75}^0=\sin \left({45}^0+{30}^0\right)\\ =\sin {45}^0.\cos {30}^0+\cos {45}^0.\sin {30}^0\\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}\left(\sqrt{3}+1\right)\\ \tan {75}^0=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3}\\ \cot {75}^0=2-\sqrt{3}\end{array}$

Câu b:

Ta có:

$\begin{array}{l}\cos {15}^0=\cos \left({45}^0-{30}^0\right)\\ =\cos {45}^0.\cos {30}^0+\sin {45}^0.\sin {30}^0=\frac{\sqrt{2}}{4}\left(\sqrt{3}+1\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\sin {15}^0=\sin \left({45}^0-{30}^0\right)\\ =\sin {45}^0.\cos {30}^0-\cos {45}^0.\sin {30}^0\\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}\left(\sqrt{3}-1\right)\\ \tan {15}^0=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3}\\ \cot {15}^0=2+\sqrt{3}\end{array}$

---

Chứng minh rằng:

$\begin{array}{l}a)\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\\ b)\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{2}\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)\\ c)\tan \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{1-\tan \alpha }{1+\tan \alpha }\left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;\alpha \ne \frac{3\pi }{4}+k\pi \right)\\ d)\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }\left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;\alpha \ne \frac{\pi }{4}+k\pi \right)\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\begin{array}{l}\sqrt{2}\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin \alpha .\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{4}.\cos \alpha \right)\\ =\sqrt{2}\left(\sin \alpha .\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha \right)=\sin \alpha +\cos \alpha \end{array}$

Câu b:

$\begin{array}{l}\sqrt{2}\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin \alpha .\cos \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{4}.\cos \alpha \right)\\ =\sqrt{2}\left(\sin \alpha .\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha \right)=\sin \alpha -\cos \alpha \end{array}$

Câu c:

$\tan \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}-\tan \alpha }{1+\tan \frac{\pi }{4}.\tan \alpha }=\frac{1-\tan \alpha }{1+\tan \alpha }$

Câu d:

$\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan \alpha }{1-\tan \frac{\pi }{4}.\tan \alpha }=\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }$

---

a) Biết $\sin \alpha =\frac{1}{3};\alpha \in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$. Hãy tính giá trị lượng của góc $2\alpha$ và góc $\frac{\alpha }{2}$

b) Sử dụng ${15}^0=\frac{{30}^0}{2}$, hãy kiểm nghiệm lại kết quả của bài tập 39.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: $\{\begin{array}{l}\sin \alpha =\frac{1}{3}\\ \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \end{array}\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2.\frac{1}{3}.\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=-\frac{4\sqrt{2}}{9}\\ \cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =\frac{7}{9}\\ \tan 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=-\frac{4\sqrt{2}}{7}\\ \cot 2\alpha =-\frac{7\sqrt{2}}{8}\end{array}$

Ta có: $\frac{\pi }{4}<\frac{\alpha }{2}<\frac{\pi }{2}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\cos \frac{\alpha }{2}>0\\ \sin \frac{\alpha }{2}>0\end{array}$

$\begin{array}{r}\cos \alpha =2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-1\Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{6}}\\ \cos \alpha =1-2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}\Rightarrow \sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{6}}\end{array}$

$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{2\cos \frac{\alpha }{2}}=3+2\sqrt{2};\cot \frac{\alpha }{2}=3-2\sqrt{2}$

Câu b:

$\begin{array}{l}2{\cos }^2{15}^0=1+\cos {30}^0=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \cos {15}^0=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}\\ 2{\sin }^2{15}^0=1-\cos {30}^0=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \sin {15}^0=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}\\ \tan {15}^0=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}=2-\sqrt{3},\cot {15}^0+2+\sqrt{3}\end{array}$

---

Chứng minh rằng:

a) $\sin \frac{11\pi }{12}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{5\pi }{12}=\frac{1}{4}\left(2-\sqrt{3}\right)$

b) $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\pi }{7}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{3\pi }{7}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{5\pi }{7}=-\frac{1}{8}$

c) $\sin 6^0\sin {42}^0\sin {66}^2\sin {78}^0=\frac{1}{16}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\begin{array}{l}\sin \frac{11\pi }{12}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{5\pi }{12}=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{12}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{12}\right)\\ ={\sin }^2\frac{\pi }{12}=\frac{1}{2}\left(1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}=\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{1}{4}\left(2-\sqrt{3}\right)\end{array}$

Câu b:

$\begin{array}{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{3\pi }{7}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\pi -\frac{4\pi }{7}\right)=-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{4\pi }{7}\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{5\pi }{7}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\pi -\frac{2\pi }{7}\right)=-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{2\pi }{7}\\ \Rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\pi }{7}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{3\pi }{7}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{5\pi }{7}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\pi }{7}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{2\pi }{7}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{4\pi }{7}\\ =\frac{1}{\sin \frac{\pi }{7}}\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\pi }{7}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\pi }{7}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{2\pi }{7}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{4\pi }{7}\\ =\frac{1}{\sin \frac{\pi }{7}}.\frac{1}{2}\left(\sin \frac{2\pi }{7}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{2\pi }{7}\right).\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{4\pi }{7}\\ =\frac{1}{\sin \frac{\pi }{7}}.\frac{1}{4}\sin \frac{4\pi }{7}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{4\pi }{7}\\ =\frac{1}{8\sin \frac{\pi }{7}}.\sin \frac{8\pi }{7}=\frac{-\sin \frac{\pi }{7}}{8\sin \frac{\pi }{7}}=-\frac{1}{8}\end{array}$

Câu c:

$\begin{array}{l}\sin 6^0\sin {42}^0\sin {66}^2\sin {78}^0\\ =\sin 6^0{48}^0\cos {24}^0\cos {12}^0\\ =\frac{1}{6^0}\left(\sin 6^0\cos 6^0\right)\cos {12}^0\cos {24}^0\cos {48}^0\\ =\frac{1}{\cos 6^0}\left(\frac{1}{2}\sin {12}^0\cos {12}^0\right)\cos {24}^0\cos {48}^0\\ =\frac{1}{\cos 6^0}.\frac{1}{4}\sin {24}^0\cos {24}^0\cos {48}^0\\ =\frac{1}{\cos 6^0}\left(\frac{1}{8}\sin {48}^0\cos {48}^0\right)\\ =\frac{1}{\cos 6^0}.\frac{1}{16}\sin {96}^0=\frac{\cos 6^0}{16\cos 6^0}=\frac{1}{16}\end{array}$

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:

$\begin{array}{l}a)\cos {75}^0\cos {15}^0=\sin {75}^0\sin {15}^0=\frac{1}{4}\\ b)\cos {75}^0\sin {15}^0=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\\ c)\sin {75}^0\cos {15}^0=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\\ d)\cos \alpha \sin \left(\beta -\gamma \right)+\cos \beta \sin \left(\gamma -\alpha \right)+\cos \gamma \sin \left(\alpha -\beta \right)=0,\mathrm{\forall }\alpha ,\beta ,\gamma \end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\begin{array}{l}\cos {75}^0\cos {15}^0=\frac{1}{2}\left(\cos \left({75}^0-{15}^0\right)+\cos \left({75}^0+{15}^0\right)\right)=\frac{1}{2}\left(\cos {60}^0+\cos {90}^0\right)=\frac{1}{4}\\ \sin {75}^0\sin {15}^0=\frac{1}{2}\left(\cos \left({75}^0-{15}^0\right)-\cos \left({75}^0+{15}^0\right)\right)=\frac{1}{2}\left(\cos {60}^0-\cos {90}^0\right)=\frac{1}{4}\end{array}$ 

Vậy $\cos {75}^0\cos {15}^0=\sin {75}^0\sin {15}^0=\frac{1}{4}$

Câu b:

$\begin{array}{l}\cos {75}^0\sin {15}^0=\sin {15}^0\cos {75}^0\\ =\frac{1}{2}\left[\sin \left({15}^0-{75}^0\right)+\sin \left({15}^0+{75}^0\right)\right]\\ =\frac{1}{2}\left[\sin \left(-{60}^0\right)+\sin {90}^0\right]\\ =\frac{2-\sqrt{3}}{4}\end{array}$

Câu c:

$\begin{array}{l}\sin {75}^0\cos {15}^0=\frac{1}{2}\left[\sin \left({75}^0-{15}^0\right)+\sin \left({75}^0+{15}^0\right)\right]\\ =\frac{1}{2}\left[\sin {60}^0+\sin {90}^0\right]\\ =\frac{2+\sqrt{3}}{4}\end{array}$

Câu d:

$\begin{array}{l}\cos \alpha \sin \left(\beta -\gamma \right)=\frac{1}{2}\left[\sin \left(\alpha +\beta -\gamma \right)-\sin \left(\alpha -\beta +\gamma \right)\right]\\ \cos \beta \sin \left(\gamma -\alpha \right)=\frac{1}{2}\left[\sin \left(\beta +\gamma -\alpha \right)-\sin \left(\beta -\gamma +\alpha \right)\right]\\ \cos \gamma \sin \left(\alpha -\beta \right)=\frac{1}{2}\left[\sin \left(\gamma +\alpha -\beta \right)-\sin \left(\gamma -\alpha +\beta \right)\right]\\ \Rightarrow \cos \alpha \sin \left(\beta -\gamma \right)+\cos \beta \sin \left(\gamma -\alpha \right)+\cos \gamma \sin \left(\alpha -\beta \right)=0,\mathrm{\forall }\alpha ,\beta ,\gamma \end{array}$

---

Đơn giản các biểu thức sau:

a) $\sin \left(\frac{\pi }{3}+\alpha \right)-\sin \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)$

b) ${\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)-{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có $\sin \left(\frac{\pi }{3}+\alpha \right)-\sin \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=2\cos \frac{\pi }{3}\sin \alpha =\sin \alpha$

Câu b:

$\begin{array}{l}{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)-{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)\\ =\frac{1+\cos \left(\frac{\pi }{2}+2\alpha \right)}{2}-\frac{1+\cos \left(\frac{\pi }{2}-2\alpha \right)}{2}\\ =\frac{1}{2}\left(-\sin 2\alpha -\sin 2\alpha \right)=-\sin 2\alpha \end{array}$

---

Chứng minh rằng:

a) $\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\cos \alpha -\cos \beta }=-\sqrt{3}$ nếu $\{\begin{array}{l}\alpha +\beta =\frac{\pi }{3}\\ \cos \alpha \ne \cos \beta \end{array}$

b) $\frac{\cos \alpha -\cos 7\alpha }{\sin 7\alpha -\sin \alpha }=\tan 4\alpha$ (khi các biểu thức có nghĩa)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\begin{array}{l}\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\cos \alpha -\cos \beta }=\frac{2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}}{-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}}\\ =-\cot \frac{\alpha +\beta }{2}=-\cot \frac{\pi }{6}=-\sqrt{3}\end{array}$

Câu b:

$\frac{\cos \alpha -\cos 7\alpha }{\sin 7\alpha -\sin \alpha }=\frac{2\sin 4\alpha \sin 3\alpha }{2\cos 4\alpha \sin 3\alpha }=\tan 4\alpha$

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 6 Bài 4 Một số công thức lượng giác với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.