Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 6 Bài 4 Một số công thức lượng giác

Hỏi mỗi khẳng định sau đây có đúng không? ∀α,∀β ta có:

\(\begin{array}{l}
a)\,2\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \cos \alpha  + \cos \beta \\
b)\,\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = \sin \alpha  - \sin \beta \\
c)\,\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha .\cos \beta  + \cos \alpha .\sin \beta \\
d)\,\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) = \cos \alpha .\cos \beta  - \sin \alpha .\sin \beta \\
e)\,\frac{{\sin 4\alpha }}{{\cos 2\alpha }} = \tan 2\alpha \\
f)\,{\sin ^2}\alpha  = \sin 2\alpha 
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Sai. vì nếu \(\beta  = 0\) thì \(\cos \alpha  + 1\) (vô lý)

Câu b:

Sai. Vì nếu lấy \(\alpha  = \frac{\pi }{2};\beta  =  - \frac{\pi }{2}\) thì \(\sin \pi  = 2\sin \frac{\pi }{2}\) (vô lý)

Câu c:

Đúng

Câu d:

Sai. Vì nếu lấy \(\alpha  = \frac{\pi }{4};\beta  =  - \frac{\pi }{4}\) thì \({\cos ^2}\frac{\pi }{4} - {\sin ^2}\frac{\pi }{4} \Leftrightarrow 1 = 0\) (vô lý)

Câu e:

Sai. Vì nếu lấy \(\alpha  = \frac{\pi }{8} \Rightarrow \frac{{\sin \frac{\pi }{2}}}{{\cos \frac{\pi }{4}}} = \tan \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \sqrt 2  = 1\) (vô lý)

Câu f:

Sai. Vì nếu lấy \(\alpha  = \frac{\pi }{2} \Rightarrow {\sin ^2}\frac{\pi }{2} = \sin \pi  \Leftrightarrow 1 = 0\) (vô lý)

---

Sử dụng 75⁰ = 45⁰ + 30⁰, hãy tính giá trị lượng giác của góc 750

Sử dụng 15⁰ = 45⁰ - 30⁰, hãy tính giá trị lượng giác của góc 150. (đối chiếu với kết quả bài tập 29)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\cos {75^0} = \cos \left( {{{45}^0} + {{30}^0}} \right) = \cos {45^0}.\cos {30^0} - \sin {45^0}.\sin {30^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\sin {75^0} = \sin \left( {{{45}^0} + {{30}^0}} \right)\\
 = \sin {45^0}.\cos {30^0} + \cos {45^0}.\sin {30^0}\\
 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\\
\tan {75^0} = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{{\sqrt 3  - 1}} = 2 + \sqrt 3 \\
\cot {75^0} = 2 - \sqrt 3 
\end{array}\)

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\cos {15^0} = \cos \left( {{{45}^0} - {{30}^0}} \right)\\
 = \cos {45^0}.\cos {30^0} + \sin {45^0}.\sin {30^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\sqrt 3  + 1} \right)
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\sin {15^0} = \sin \left( {{{45}^0} - {{30}^0}} \right)\\
 = \sin {45^0}.\cos {30^0} - \cos {45^0}.\sin {30^0}\\
 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\\
\tan {15^0} = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{{\sqrt 3  + 1}} = 2 - \sqrt 3 \\
\cot {15^0} = 2 + \sqrt 3 
\end{array}\)

---

Chứng minh rằng:

\(\begin{array}{l}
a)\,\,\sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right)\\
b)\,\,\sin \alpha  - \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha  - \frac{\pi }{4}} \right)\\
c)\,\,\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{1 - \tan \alpha }}{{1 + \tan \alpha }}\left( {\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;\alpha  \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right)\\
d)\,\,\tan \left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right) = \frac{{1 + \tan \alpha }}{{1 - \tan \alpha }}\left( {\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;\alpha  \ne \frac{\pi }{4} + k\pi } \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\sqrt 2 \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha .\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{4}.\cos \alpha } \right)\\
 = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha } \right) = \sin \alpha  + \cos \alpha 
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\sqrt 2 \sin \left( {\alpha  - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha .\cos \frac{\pi }{4} - \sin \frac{\pi }{4}.\cos \alpha } \right)\\
 = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha } \right) = \sin \alpha  - \cos \alpha 
\end{array}\)

Câu c:

\(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan \alpha }}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}.\tan \alpha }} = \frac{{1 - \tan \alpha }}{{1 + \tan \alpha }}\)

Câu d:

\(\tan \left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} + \tan \alpha }}{{1 - \tan \frac{\pi }{4}.\tan \alpha }} = \frac{{1 + \tan \alpha }}{{1 - \tan \alpha }}\)

---

a) Biết \(\sin \alpha  = \frac{1}{3};\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\). Hãy tính giá trị lượng của góc \(2\alpha \) và góc \(\frac{\alpha }{2}\)

b) Sử dụng \({15^0} = \frac{{{{30}^0}}}{2}\), hãy kiểm nghiệm lại kết quả của bài tập 39.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha  = \frac{1}{3}\\
\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi 
\end{array} \right. \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - \frac{1}{9}}  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha  = 2.\frac{1}{3}.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) =  - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\\
\cos 2\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = \frac{7}{9}\\
\tan 2\alpha  = \frac{{\sin 2\alpha }}{{\cos 2\alpha }} =  - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}\\
\cot 2\alpha  =  - \frac{{7\sqrt 2 }}{8}
\end{array}\)

Ta có: \(\frac{\pi }{4} < \frac{\alpha }{2} < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos \frac{\alpha }{2} > 0\\
\sin \frac{\alpha }{2} > 0
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{r}
\cos \alpha  = 2{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} - 1 \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{2}}  = \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{6}} \\
\cos \alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} \Rightarrow \sin \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{2}}  = \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{6}} 
\end{array}\)

\(\tan \frac{\alpha }{2} = \frac{{\sin \frac{\alpha }{2}}}{{2\cos \frac{\alpha }{2}}} = 3 + 2\sqrt 2 ;\cot \frac{\alpha }{2} = 3 - 2\sqrt 2 \)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
2{\cos ^2}{15^0} = 1 + \cos {30^0} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \cos {15^0} = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}} \\
2{\sin ^2}{15^0} = 1 - \cos {30^0} = 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sin {15^0} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}} \\
\tan {15^0} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}}  = 2 - \sqrt 3 ,\cot {15^0} + 2 + \sqrt 3 
\end{array}\)

---

Chứng minh rằng:

a) \(\sin \frac{{11\pi }}{{12}}{\rm{cos}}\frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{4}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\)

b) \({\rm{cos}}\frac{\pi }{7}{\rm{cos}}\frac{{3\pi }}{7}{\rm{cos}}\frac{{5\pi }}{7} =  - \frac{1}{8}\)

c) \(\sin {6^0}\sin {42^0}\sin {66^2}\sin {78^0} = \frac{1}{16}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\sin \frac{{11\pi }}{{12}}{\rm{cos}}\frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \left( {\pi  - \frac{\pi }{{12}}} \right){\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{{12}}} \right)\\
 = {\sin ^2}\frac{\pi }{{12}} = \frac{1}{2}\left( {1 - {\rm{cos}}\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2} = \left( {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{1}{4}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
{\rm{cos}}\frac{{3\pi }}{7} = {\rm{cos}}\left( {\pi  - \frac{{4\pi }}{7}} \right) =  - {\rm{cos}}\frac{{4\pi }}{7}\\
{\rm{cos}}\frac{{5\pi }}{7} = {\rm{cos}}\left( {\pi  - \frac{{2\pi }}{7}} \right) =  - {\rm{cos}}\frac{{2\pi }}{7}\\
 \Rightarrow {\rm{cos}}\frac{\pi }{7}{\rm{cos}}\frac{{3\pi }}{7}{\rm{cos}}\frac{{5\pi }}{7} = {\rm{cos}}\frac{\pi }{7}{\rm{cos}}\frac{{2\pi }}{7}{\rm{cos}}\frac{{4\pi }}{7}\\
 = \frac{1}{{\sin \frac{\pi }{7}}}\left( {{\rm{sin}}\frac{\pi }{7}{\rm{cos}}\frac{\pi }{7}} \right){\rm{cos}}\frac{{2\pi }}{7}{\rm{cos}}\frac{{4\pi }}{7}\\
 = \frac{1}{{\sin \frac{\pi }{7}}}.\frac{1}{2}\left( {\sin \frac{{2\pi }}{7}{\rm{cos}}\frac{{2\pi }}{7}} \right).{\rm{cos}}\frac{{4\pi }}{7}\\
 = \frac{1}{{\sin \frac{\pi }{7}}}.\frac{1}{4}\sin \frac{{4\pi }}{7}{\rm{cos}}\frac{{4\pi }}{7}\\
 = \frac{1}{{8\sin \frac{\pi }{7}}}.\sin \frac{{8\pi }}{7} = \frac{{ - \sin \frac{\pi }{7}}}{{8\sin \frac{\pi }{7}}} =  - \frac{1}{8}
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\sin {6^0}\sin {42^0}\sin {66^2}\sin {78^0}\\
 = \sin {6^0}{48^0}\cos {24^0}\cos {12^0}\\
 = \frac{1}{{{6^0}}}\left( {\sin {6^0}\cos {6^0}} \right)\cos {12^0}\cos {24^0}\cos {48^0}\\
 = \frac{1}{{\cos {6^0}}}\left( {\frac{1}{2}\sin {{12}^0}\cos {{12}^0}} \right)\cos {24^0}\cos {48^0}\\
 = \frac{1}{{\cos {6^0}}}.\frac{1}{4}\sin {24^0}\cos {24^0}\cos {48^0}\\
 = \frac{1}{{\cos {6^0}}}\left( {\frac{1}{8}\sin {{48}^0}\cos {{48}^0}} \right)\\
 = \frac{1}{{\cos {6^0}}}.\frac{1}{{16}}\sin {96^0} = \frac{{\cos {6^0}}}{{16\cos {6^0}}} = \frac{1}{{16}}
\end{array}\)

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:

\(\begin{array}{l}
a)\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = \frac{1}{4}\\
b)\cos {75^0}\sin {15^0} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{4}\\
c)\sin {75^0}\cos {15^0} = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}\\
d)\cos \alpha \sin \left( {\beta  - \gamma } \right) + \cos \beta \sin \left( {\gamma  - \alpha } \right) + \cos \gamma \sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = 0,\forall \alpha ,\beta ,\gamma 
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\cos {75^0}\cos {15^0} = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {{{75}^0} - {{15}^0}} \right) + \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos {{60}^0} + \cos {{90}^0}} \right) = \frac{1}{4}\\
\sin {75^0}\sin {15^0} = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {{{75}^0} - {{15}^0}} \right) - \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos {{60}^0} - \cos {{90}^0}} \right) = \frac{1}{4}
\end{array}\) 

Vậy \(\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = \frac{1}{4}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\cos {75^0}\sin {15^0} = \sin {15^0}\cos {75^0}\\
 = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {{{15}^0} - {{75}^0}} \right) + \sin \left( {{{15}^0} + {{75}^0}} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( { - {{60}^0}} \right) + \sin {{90}^0}} \right]\\
 = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{4}
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\sin {75^0}\cos {15^0} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {{{75}^0} - {{15}^0}} \right) + \sin \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{2}\left[ {\sin {{60}^0} + \sin {{90}^0}} \right]\\
 = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}
\end{array}\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
\cos \alpha \sin \left( {\beta  - \gamma } \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha  + \beta  - \gamma } \right) - \sin \left( {\alpha  - \beta  + \gamma } \right)} \right]\\
\cos \beta \sin \left( {\gamma  - \alpha } \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\beta  + \gamma  - \alpha } \right) - \sin \left( {\beta  - \gamma  + \alpha } \right)} \right]\\
\cos \gamma \sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\gamma  + \alpha  - \beta } \right) - \sin \left( {\gamma  - \alpha  + \beta } \right)} \right]\\
 \Rightarrow \cos \alpha \sin \left( {\beta  - \gamma } \right) + \cos \beta \sin \left( {\gamma  - \alpha } \right) + \cos \gamma \sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = 0,\forall \alpha ,\beta ,\gamma
\end{array}\)

---

Đơn giản các biểu thức sau:

a) \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\)

b) \({\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right) - {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right) = 2\cos \frac{\pi }{3}\sin \alpha  = \sin \alpha \)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right) - {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\\
 = \frac{{1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2\alpha } \right)}}{2} - \frac{{1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2\alpha } \right)}}{2}\\
 = \frac{1}{2}\left( { - \sin 2\alpha  - \sin 2\alpha } \right) =  - \sin 2\alpha 
\end{array}\)

---

Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{\sin \alpha  - \sin \beta }}{{\cos \alpha  - \cos \beta }} =  - \sqrt 3\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}
\alpha  + \beta  = \frac{\pi }{3}\\
\cos \alpha  \ne \cos \beta 
\end{array} \right.\)

b) \(\frac{{\cos \alpha  - \cos 7\alpha }}{{\sin 7\alpha  - \sin \alpha }} = \tan 4\alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\frac{{\sin \alpha  - \sin \beta }}{{\cos \alpha  - \cos \beta }} = \frac{{2\cos \frac{{\alpha  + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha  - \beta }}{2}}}{{ - 2\sin \frac{{\alpha  + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha  - \beta }}{2}}}\\
 =  - \cot \frac{{\alpha  + \beta }}{2} =  - \cot \frac{\pi }{6} =  - \sqrt 3 
\end{array}\)

Câu b:

\(\frac{{\cos \alpha  - \cos 7\alpha }}{{\sin 7\alpha  - \sin \alpha }} = \frac{{2\sin 4\alpha \sin 3\alpha }}{{2\cos 4\alpha \sin 3\alpha }} = \tan 4\alpha \)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 6 Bài 4 Một số công thức lượng giác với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.