Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 6 Luyện tập (trang 215, 216)

Bài 46 trang 215 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

a)sin3α=3sinα4sin3α;cos3α=4cos3α3cosαb)sinαsin(π3α)sin(π3+α)=14sin3αcosαcos(π3α)cos(π3+α)=14cos3α

Ứng dụng: Tính sin 200 sin 400 sin 800 và tan 200 tan 400 tan 800

Hướng dẫn giải:

Câu a:

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+sinαcos2α=2sinαcos2α+sinα(12sin2α)=2sinα(1sin2α)+sinα(1sin2α)=3sinα4sin3αcos3α=cos(2α+α)=cos2αcosαsin2αsinα=(2cos2α1)cosα2sin2αcosα=2cos3αcosα2cosα(1cos2α)=4cos3α3cosα

Câu b:

sinαsin(π3α)sin(π3+α)=sinα.12(cos2αcos2π3)=12sinα(12sin2α+12)=14sinα(34sin2α)=14sin3αcosαcos(π3α)cos(π3+α)=cosα.12cos(cosα+cos2π3)=12cosα(2cos2α112)=12cosα(4cos2α3)=14cos3α

Ứng dụng:

sin200sin400sin800=sin200.sin(690200)sin(600+200)=14sin(3.200)=14sin600=38cos200cos400cos800=14cos600=18tan200tan400tan800=3


Bài 47 trang 215 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rồi dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số để kiểm nghiệm lại gần đúng kết quả.

a)cos100cos500cos700=sin200sin400sin800=38b)sin100sin500sin700=cos200cos400cos800=18

Hướng dẫn giải:

Câu a:

cos100cos500cos700=cos100[12(cos1200+cos200)]=14cos100+12cos100cos200=14cos100+14(cos300+cos100)=14cos300=38cos100cos500cos700=sin200sin400sin800=38

Câu b:

sin100sin500sin700=12(cos200cos1200)sin100=14sin100+12sin100cos200=14sin100+14(sin300sin100)=14sin300=18sin100sin500sin700=cos200cos400cos800=18


Bài 48 trang 215 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng: cosπ7+cos4π7+cos6π7=12

Hướng dẫn: Nhân vế trái với π7 (hoặc 2π7) rồi sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Hướng dẫn giải:

Đặt A=cosπ7+cos4π7+cos6π7, ta có:

2Asinπ7=2cosπ7sinπ7+2cos4π7sinπ7+2cos6π7sinπ7=(sin3π7sinπ7)+(sin5π7sin3π7)+(sin7π7sin5π7)=sinπ7A=12


Bài 49 trang 215 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a)cos2(α+x)+cos2x2cosαcosx.cos(α+x)b)sin4x.sin10xsin11x.sin3xsin7x.sinx

Hướng dẫn giải:

Câu a:

cos2(α+x)+cos2x2cosαcosx.cos(α+x)=cos(α+x)[cos(α+x)2cosαcosx]+cos2x=cos(α+x)(cosαcosxsinαsinx)+cos2x=cos(α+x)cos(αx)+cos2x=12(cos2α+cos2x)+cos2x=12cos2αcos2x2+cos2x=12cos2α+12=sin2α

Câu b:

sin4x.sin10xsin11x.sin3xsin7x.sinx=12(cos6xcos14x)12(cos8xcos14x)12(cos6xcos8x)=0


Bài 50 trang 215 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:

a) sin A = cos B + cos C thì tam giác ABC vuông

b) sin A =  2sin B.cos C thì tam giác ABC cân

Hướng dẫn giải:

Câu a:

sinA=cosB+cosCsinA=2cosB+C2cosBC22sinA2(cosA2cosBC2)=0cosA2=cosBC2(sinA20,do0<A<π)

Vì 0<A2<π2;|BC2|<π2 nên:

cosA2=cosBC2A2=|BC2|A=|BC|

  • Nếu B > C thì A = B – C. Suy ra: S = π2
  • Nếu B < C thì A = C – B. Suy ra: C = π2

Câu b:

sinA=2sinB.cosCsinA=sin(B+C)+sin(BC)sinA=sin(πA)+sin(BC)sin(BC)=0

0|BC|π nên B - C = 0

Vậy tam giác ABC cân tại A.


Bài 51 trang 216 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng nếu α+β+γ=π thì:

a)sinα+sinβ+sinγ=4cosα2cosβ2cosγ2b)cosα+cosβ+cosγ=1+4sinα2sinβ2sinγ2c)sin2α+sin2β+sin2γ=4sinαsinβsinγd)cos2α+cos2β+cos2γ=12cosαcosβcosγ

Hướng dẫn giải:

Câu a:

sinα+sinβ+sinγ=sinα+2sinβ+γ2cosβγ2=sinα+2sinπα2cosβγ2=2sinα2cosα2+2cosα2cosβγ2=2cosα2(sinα2+cosβγ2)=2cosα2[sinπ(β+γ)2+cosβγ2]=2cosα2(cosβ+γ2+cosβγ2)=4cosα2cosβ2cosγ2

Câu b:

cosα+cosβ+cosγ=2cosα+β2cosαβ2+12sin2γ2=2cos(π2γ2)cosαβ2+12sin2γ2=1+2sinγ2(cosαβ2sinγ2)=1+2sinγ2(cosαβ2cosα+β2)=1+4sinα2sinβ2sinγ2

Câu c:

sin2α+sin2β+sin2γ=2sin(α+β)cos(αβ)+2sinγcosγ=2sinγ[cos(αβ)cos(α+β)]=4sinαsinβsinγ

Câu d:

cos2α+cos2β+cos2γ=1+cos2α2+1+cos2β2+cos2γ=1+12(cos2α+cos2β)+cos2γ=1+cos(α+β)cos(αβ)+cos2γ=1+cosγ[cosγcos(αβ)]=1cosγ[cos(α+β)+cos(αβ)]=12cosαcosβcosγ


Bài 52 trang 216 SGK Toán 10 nâng cao

a) Chứng minh rằng nếu ∝ và β khác π2+kπ (k ∈ Z) thì:     

{tanα+tanβ=sin(α+β)cosαcosβtanαtanβ=sin(αβ)cosαcosβ

b) Chứng minh rằng với mọi ∝ mà cos k∝ ≠ 0 (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) và sin ∝ ≠ 0 thì:

1cosαcos2α+1cos2αcos3α+...+1cos7αcos8α=tan8αtanαsinα

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

tanα+tanβ=sinαcosα+sinβcosβ=sinαcosβ+sinβcosαcosαcosβ=sin(α+β)cosαcosβ

Tương tự, tanαtanβ=sin(αβ)cosαcosβ

Câu b:

1cosαcos2α+1cos2αcos3α+...+1cos7αcos8α=tanαtan2αsin(α)+tan2αtan3αsin(α)+...+tan7αtan8αsin(α)=1sinα(tanα+tan2αtan2α+tan3α+...tan7α+tan8α)=tan8αtanαsinα


Bài 53 trang 216 SGK Toán 10 nâng cao

Biết cosα +cosβ = a; sinα+sinβ = b (a,b là hằng số và a2 + b2 ≠ 0)

Hãy tính sin(α + β) theo a và b

Hướng dẫn giải:

Ta có:

a=2cosα+β2cosαβ2b=2sinα+β2sinαβ2}ab=2sin(α+β)cos2αβ2

Mặt khác: a2+b2=4cos2αβ2

Do đó sin(α+β)=2aba2+b2


Bài 54 trang 216 SGK Toán 10 nâng cao

Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O, với vận tốc ban đầu là v(m/s) theo phương hợp với trục hoành (nằm ngang) Ox một góc α ,0<α<π2 là parabol có phương trình :

y=g2v2cos2αx2+(tanα)x                                                    

Trong đó g là gia tốc trọng trường (g ≈ 9,8m/s2) (giả sử lực cản của không khí là không đáng kể).

Gọi tầm xa của quỹ đạo là khoảng cách từ O đến giao điểm khác O của quỹ đạo với Ox.

a) Tính tầm xa theo α (và v)

b) Khi v không đổi, α thay đổi trong khoảng (0;π2), hỏi giá trị α nào thì tầm xa của quỹ đạo đạt được giá trị lớn nhất? Tính giá trị đó theo v. Khi v = 80m/s. Hãy tính giá trị lớn nhất đó (chính xác đến hàng đơn vị).

 

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Gọi x là tầm xa của quỹ đạo, thì: 

{x>0gx22v2cos2α+(tanα)x=0

Tức là x=2v2sinαcosαg=v2gsin2α

Câu b:

x đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi sin2α=1α=π4

Khi đó: x=v2g

Với v = 80 m/s thì v2g8009,8635(m)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 6 Luyện tập (trang 215, 216) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt. 

Tham khảo thêm

Bình luận

Thảo luận về Bài viết

Có Thể Bạn Quan Tâm ?