Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 4 Luyện tập (trang 127)

Giải và biện luận các bất phương trình:

a) mx + 4 > 2x + m²

b) 2mx + 1 ≥ x + 4m²

c) x(m² - 1) < m⁴ - 1

d) 2(m+1)x ≤ (m+1)²(x-1)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

mx + 4 > 2x+m² ⇔ (m - 2)x > m² - 4    (1)

Nếu m = 2, bất phương trình trở thành 0x > 0 nên vô nghiệm

Nếu m > 2, thì (1) ⇔ x > m + 2 hay tập nghiệm là S = (m + 2;+∞)

Nếu m < 2, thì (1) ⇔ x < m + 2 hay tập nghiệm là S = (-∞;m + 2)

Câu b:

2mx + 1 ≥ 4m² ⇔ x(2m+1) ≥ (2m - 1)(2m + 1)   (2)

Nếu \(m = \frac{1}{2}\) thì bất phương trình trở thành 0x ≥ 0 nên nó tập nghiệm là R.

Nếu \(m > \frac{1}{2}\) thì (2) ⇔ x ≥ 2m + 1 hay tập nghiệm của nó là [2m + 1;+∞)

Nếu \(m < \frac{1}{2}\) thì (2) ⇔ x ≤ 2m+1 hay tập nghiệm của nó là (-∞;2m + 1]

Câu c:

x(m2 - 1) < m4 - 1    (3)

Nếu m = 1 hoặc m = - 1, bất phương trình vô nghiệm

Nếu -1 < m < 1 thì (3) ⇔ x > m² + 1 hay có tập nghiệm là (m²+1;+∞)

Nếu m < - 1 hoặc m > 1 thì (3) ⇔ x < m²+1 hay có tập nghiệm là (-∞;m²+1)

Câu d:

 2(m+1)x ≤ (m+1)2(x-1) ⇔ x(m + 1)(m - 1) ≥ (m+1)²    (4)

Nếu m = -1, bất phương trình có nghiệm là R

Nếu m = 1, bất phương trình vô nghiệm

Nếu -1 < m < 1, (4) ⇔ x ≤ \(\frac{{m + 1}}{{m - 1}}\) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;\frac{{m + 1}}{{m - 1}}} \right]\)

Nếu m < - 1 hoặc m > 1, (4) ⇔ x ≥ \(\frac{{m + 1}}{{m - 1}}\) suy ra tập nghiệm là \(\left[ {\frac{{m + 1}}{{m - 1}}; + \infty } \right)\)

---

Giải các bất phương trình

a) \(\left( { - \sqrt 3 x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {4x - 5} \right) > 0\)

b) \(\frac{{3 - 2x}}{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} < 0\)

c) \(\frac{{ - 3x + 1}}{{2x + 1}} \le  - 2\)

d) \(\frac{{x + 2}}{{3x + 1}} \le \frac{{x - 2}}{{2x - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Bảng xét dấu 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }};\frac{5}{4}} \right)\)

Câu b:

Bảng xét dấu 

Vậy tập nghiệm là \(S = \left( {\frac{1}{3};\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\)

Câu c:

Ta có \(\frac{{ - 3x + 1}}{{2x + 1}} \le  - 2 \Leftrightarrow \frac{{ - 3x + 1 + 2\left( {2x + 1} \right)}}{{2x + 1}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{2x + 1}} \le 0\)

Bảng xét dấu 

Vậy tập nghiệm là \(S = \left[ { - 3; - \frac{1}{2}} \right)\)

Câu d:

Ta có 

\(\begin{array}{l}
\frac{{x + 2}}{{3x + 1}} \le \frac{{x - 2}}{{2x - 1}}\\
 \Leftrightarrow \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) - \left( {x - 2} \right)\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} \le 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 8x}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} \le 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{x\left( {x - 8} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} \ge 0
\end{array}\)

Bảng xét dấu

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup \left[ {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left[ {8; + \infty } \right)\)

---

Giải và biện luận các bất phương trình

a) \(\left( {2x - \sqrt 2 } \right)\left( {x - m} \right) > 0\)

b) \(\frac{{\sqrt 3  - x}}{{x - 2m + 1}} \le 0\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
2x - \sqrt 2  = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
x - m = 0 \Leftrightarrow x = m
\end{array}\)

Với \(m < \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), ta có bảng xét dấu:

 

Suy ra \(S = \left( { - \infty ;m} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}; + \infty } \right)\)

Với \(m = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) bất phương trình trở thành:

\(\left( {2x - \sqrt 2 } \right)\left( {x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) > 0 \Leftrightarrow {\left( {2x - \sqrt 2 } \right)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Suy ra \(S = R\backslash \left\{ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right\}\)

Với \(m > \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), ta có bảng xét dấu:

Suy ra \(S = \left( { - \infty ;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {m; + \infty } \right)\)

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt 3  - x = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 3 \\
x - 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 2m - 1
\end{array}\)

Với \(2m - 1 < \sqrt 3  \Leftrightarrow m < \frac{{\sqrt 3  + 1}}{2}\), ta có bảng xét dấu:

 

Suy ra \(S = \left( { - \infty ;2m - 1} \right) \cup \left[ {\sqrt 3 ; + \infty } \right)\)

Với \(2m - 1 = \sqrt 3  \Leftrightarrow m = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{2}\), bất phương trình trở thành:

\(\frac{{\sqrt 3  - x}}{{x - \sqrt 3 }} \le 0\)

Bảng xét dấu

Với \(2m - 1 > \sqrt 3  \Leftrightarrow m > \frac{{\sqrt 3  + 1}}{2}\), ta có bảng xét dấu:

Vậy tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;\sqrt 3 } \right) \cup \left( {2m - 1; + \infty } \right)\)

---

Tìm nghiệm nguyên của mỗi hệ bất phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
6x + \frac{5}{7} > 4x + 7\\
\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 25
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}\\
2\left( {x - 4} \right) < \frac{{3x - 14}}{2}
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
6x + \frac{5}{7} > 4x + 7\\
\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 25
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
42x + 5 < 28x + 49\\
8x + 3 < 4x + 50
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
14x > 44\\
4x < 47
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{44}}{{14}} < x < \frac{{47}}{4}
\end{array}\)

Vì x ∈ Z nên x ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Vậy tập nghiệm của hệ là : {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}\\
2\left( {x - 4} \right) < \frac{{3x - 14}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
45x - 6 > 6x + 1\\
4x - 16 < 3x - 14
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
39x > 7\\
x < 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{7}{{39}} < x < 2
\end{array}\)

Vì x ∈ Z nên x = 1

Vậy tập nghiệm của hệ là {1}

---

Giải phương trình và bất phương trình

a) \(\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right| =4\,\,\,  (1) \)

b) \(\frac{{\left| {2x - 1} \right|}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} > \frac{1}{2}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Bảng xét dấu

Với x < - 1, ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - x - 1 - x + 1 = 4 \Leftrightarrow x =  - 2\) (nhận)

Với \( - 1 \le x \le 1\), ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 1 - x + 1 = 4 \Leftrightarrow 0x = 2\) (vô nghiệm)

Với x > 1, ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 1 + x - 1 = 4 \Leftrightarrow x = 2\) (nhận)

Vậy S = {- 2;2}

Câu b:

Nếu thì bất phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}
\frac{{ - 2x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} > \frac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow \frac{{2\left( { - 2x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} > 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} > 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} < 0
\end{array}\)

Bảng xét dấu 

Suy ra tập nghiệm \(S_1 = \left( { - 4; - 1} \right)\)

Nếu \(x > \frac{1}{2}\) thi bất phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}
\frac{{2x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} > \frac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow \frac{{2\left( {2x - 1} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} > 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{x\left( {x - 5} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} < 0
\end{array}\)

Bảng xét dấu

Suy ra tập nghiệm \(S_2=(2;5)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = {S_1} \cup {S_2} = \left( { - 4; - 1} \right) \cup \left( {2;5} \right)\)

---

Giải và biện luận bất phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7  - 2x} \right) > 0\,\,\,(1)\\
x - m \le 0\,\,\,(2)
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{2}{{x - 1}} < \frac{5}{{2x - 1}}\,\,\,(1)\\
x - m \ge 0\,\,\,(2)
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Giải (1):

Bảng xét dấu

Suy ra \({S_1} = \left( {\frac{{\sqrt 7 }}{2};\sqrt 5 } \right)\)

Ta có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow x \le m\), suy ra \({S_2} = \left( { - \infty ;m} \right]\)

Do đó:

Nếu \(m \le \frac{{\sqrt 7 }}{2}\) thì tập nghiệm là \(S = {S_1} \cap {S_2} = \emptyset \)

Nếu \(\frac{{\sqrt 7 }}{2} \le m < \sqrt 5 \) thì tập nghiệm là \(S = {S_1} \cap {S_2} = \left( {\frac{{\sqrt 7 }}{2};m} \right)\)

Nếu \(m \ge \sqrt 5 \) thfi tập nghiệm là \(S = {S_1} \cap {S_2} = \left( {\frac{{\sqrt 7 }}{5};\sqrt 5 } \right)\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\frac{2}{{x - 1}} < \frac{5}{{2x - 1}} \Leftrightarrow \frac{{2\left( {2x - 1} \right) - 5\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} < 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} > 0
\end{array}\)

Bằng cách lập bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của (1) là \({S_1} = \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Ta lại có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow x \ge m\), suy ra (2) có tập nghiệm là \({S_2}=\left[ {m; + \infty } \right)\)

Do đó:

Nếu \(x \le \frac{1}{2}\) thì tập nghiệm là \(S = {S_1} \cap {S_2} = \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Nếu \(\frac{1}{2} < m < 1\) thì tập nghiệm là \(S = {S_1} \cap {S_2} = \left[ {m;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Nếu \(1 \le m \le 3\) thì tập nghiệm là \(S = \left( {3; + \infty } \right)\)

Nếu m > 3 thì tập nghiệm là \(S = \left[ {m; + \infty } \right)\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 4 Luyện tập (trang 127) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.