Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 4 Luyện tập (trang 121)

Giải và biện luận các bất phương trình sau: 

a) m(x - m) > 2(4 - x);

b) 3x + m² ≥ m(x + 3);

c) k(x - 1) + 4x ≥ 5;

d) b(x - 1) ≤ 2 - x.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: m(x - m) > 2(4 - x) ⇔ mx – m² > 8 – 2x ⇔ x(m + 2) > m² + 8      (1)

Biện luận:

• m = - 2 ⇒ (1) vô nghiệm ⇔ (1) vô nghiệm
• m < - 2 ⇒ (1) ⇔ x < \(\frac{{{m^2} + 8}}{{m + 2}}\)
• m > - 2 ⇒ (1) ⇔ x > \(\frac{{{m^2} + 8}}{{m + 2}}\)

Kết luận

• Với m = - 2, bpt vô nghiệm
• Với m < - 2, bpt có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ;\frac{{{m^2} + 8}}{{m + 2}}} \right)\)
• Với m > - 2, bpt có tập nghiệm là \(\left( {\frac{{{m^2} + 8}}{{m + 2}}; + \infty } \right)\)

Câu b:

Ta có: 3x + m2 ≥ m(x + 3) ⇔ 3x - mx ≥ 3m - m² ⇔ x(3 - m) ≥ m(3 - m)      (2)

Biện luận:

• m = 3 ⇒ (2) có tập nghiệm là R ;
• m < 3 ⇒ (2) ⇔ x ≥ m ⇒ (2) có tập nghiệm là [m; + ∞);
• m > 3 ⇒ (2) ⇔ x ≤ m ⇒ (2) có tập nghiệm là (- ∞;m]

Kết luận:

• Với m = 3, bpt có tập nghiệm là R
• Với m < 3, bpt có tập nghiệm là [m; + ∞)
• Với m > 3, bpt có tập nghiệm là (- ∞;m]

Câu c:

Ta có k(x - 1) + 4x ≥ 5 ⇔ (k + 4)x ≥. k + 5      (3)

Biện luận:

k = - 4 ⇒ (3) ⇔ 0x ≥ 1 ⇒ (3) vô nghiệm

k < - 4 ⇒ (3) ⇔ \(x \le \frac{{k + 5}}{{k + 4}}\) ⇒ (3) có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ;\frac{{k + 5}}{{k + 4}}} \right]\)

k > - 4 ⇒ (3) ⇔ \(x \ge \frac{{k + 5}}{{k + 4}}\) ⇒ (3) có tập nghiệm là \(\left[ {\frac{{k + 5}}{{k + 4}}; + \infty } \right)\)

Kết luận:

Với k = - 4, bpt vô nghiệm

Với k < - 4, bpt có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ;\frac{{k + 5}}{{k + 4}}} \right]\)

Với k > - 4, bpt có tập nghiệm là \(\left[ {\frac{{k + 5}}{{k + 4}}; + \infty } \right)\)

Câu d: 

Ta có b(x - 1) ≤ 2 - x ⇔ x(b + 1) < 2 + b      (4)

Biện luận:

Nếu b = - 1 ⇒ (4) có tập nghiệm R ⇒ bpt đã cho có tập nghiệm là R

Nếu b < - 1 ⇒ (4) ⇔ x ≥ \(\frac{{2 + b}}{{b + 1}}\) ⇒ bpt đã cho có tập nghiệm là \(\left[ {\frac{{2 + b}}{{b + 1}}; + \infty } \right)\)

Nếu b > - 1 ⇒ (4) ⇔ x ≤ \(\frac{{2 + b}}{{b + 1}}\) ⇒ bpt đã cho có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ;\frac{{2 + b}}{{b + 1}}} \right]\)

---

Giải các hệ bất phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{5x + 2}}{3} \ge 4 - x\\
\frac{{6 - 5x}}{{13}} < 3x + 1
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {1 - x} \right)^2} > 5 + 3x + {x^2}\\
{\left( {x + 2} \right)^3} < {x^3} + 6{x^2} - 7x - 5
\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{4x - 5}}{7} < x + 3\\
\frac{{3x + 8}}{4} > 2x - 5
\end{array} \right.\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 \le 2x - 3\\
3x < x + 5\\
\frac{{5 - 3x}}{2} \le x - 3
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{5x + 2}}{3} \ge 4 - x}\\
{\frac{{6 - 5x}}{{13}} < 3x + 1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x + 2 \ge 12 - 3x\\
6 - 5x < 39x + 13
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8x \ge 10\\
44x >  - 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{5}{4}\\
x >  - \frac{7}{{44}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \frac{5}{4}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left[ {\frac{5}{4}; + \infty } \right)\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {1 - x} \right)}^2} > 5 + 3x + {x^2}}\\
{{{\left( {x + 2} \right)}^2} < {x^3} + 6{x^2} - 7x - 5}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - 2x + {x^2} > 5 + 3x + {x^2}\\
{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 < {x^3} + 6{x^2} - 7x - 5
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x <  - 4\\
19x <  - 13
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x <  - \frac{4}{5}\\
x <  - \frac{{13}}{{19}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x <  - \frac{4}{5}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ; - \frac{4}{5}} \right)\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{4x - 5}}{7} < x + 3}\\
{\frac{{3x + 8}}{4} > 2x - 5}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x - 5 < 7x + 21\\
3x + 8 > 8x - 20
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x >  - 26\\
5x < 28
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x >  - \frac{{26}}{3}\\
x < \frac{{28}}{5}
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \frac{{26}}{3} < x < \frac{{28}}{5}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left( { - \frac{{26}}{3};\frac{{28}}{5}} \right)\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 \le 2x - 3\\
3x < x + 5\\
\frac{{5 - 3x}}{2} \le x - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
2x < 5\\
5 - 3x \le 2x - 6
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x < \frac{5}{2}\\
x \ge \frac{{11}}{5}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{11}}{5} \le x < \frac{5}{2}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left[ {\frac{{11}}{5};\frac{5}{2}} \right)\)

---

Tìm các giá trị của m để mỗi hệ bất phương trình sau có nghiệm

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
3x - 2 >  - 4x + 5\\
3x + m + 2 < 0
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2 \le 0\\
m + x > 1
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
3x - 2 >  - 4x + 5\\
3x + m + 2 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
x <  - \frac{{m + 2}}{3}
\end{array} \right.\)

Hệ bất phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \frac{{m + 2}}{3} > 1 \Leftrightarrow m + 2 <  - 3 \Leftrightarrow m <  - 5\)

Vậy với m < - 5 thì hệ có tập nghiệm là \(S = \left( {1; - \frac{{m + 2}}{3}} \right)\)

Câu b:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2 \le 0\\
m + x > 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
x > 1 - m
\end{array} \right.\)

Hệ bất phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow 1 - m < 2 \Leftrightarrow m >  - 1\)

Vậy với m > - 1 thì hệ có tập nghiệm là \(S = \left( {1 - m;2} \right]\)

---

Tìm các giá trị của m để mỗi hệ bất phương trình sau vô nghiệm

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
2x + 7 < 8x - 1\\
 - 2x + m + 5 \ge 0
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 3} \right)^2} \ge {x^2} + 7x + 1\\
2m - 5x \le 8
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
2x + 7 < 8x - 1\\
 - 2x + m + 5 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > \frac{4}{3}\\
x \le \frac{{m + 5}}{2}
\end{array} \right.\)

Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \frac{{m + 5}}{2} \le \frac{4}{3} \Leftrightarrow 3m + 15 \le 8 \Leftrightarrow 3m \le  - 7 \Leftrightarrow m \le  - \frac{7}{3}\)

Câu b:

Ta có:

\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 3} \right)^2} \ge {x^2} + 7x + 1\\
2m - 5x \le 8
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 6x + 9 \ge {x^2} + 7x + 1\\
5x \ge 2m - 8
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{8}{{13}}\\
x \ge \frac{{2m - 8}}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Hệ phương trình vô nghiệm

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{2m - 8}}{5} > \frac{8}{{13}}\\
 \Leftrightarrow 26m - 104 > 40\\
 \Leftrightarrow 26m > 144\\
 \Leftrightarrow m > \frac{{72}}{{13}}
\end{array}\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 4 Luyện tập (trang 121) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.