Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 4 Bài 1 Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Bài 1 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng, nếu a > b và ab > 0 thì 1a<1b

Hướng dẫn giải:

Ta có:

1a<1b1b1a>0abab>0 (vì a - b > 0 và ab > 0)

Vậy 1a<1b 


Bài 2 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng nửa chu vi của tam giác lớn hơn mỗi cạnh của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác, khi đó ta có nửa chu vi của tam giác đó là: p=a+b+c2

Ta có:

pa=a+b+c2a2=b+ca2

Vì b + c > a (bđt tam giác) nên p > a

Chứng minh tương tự ta có p > b và p > c.


Bài 3 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

⇔ a+ b2 + c2 – ab – bc – ca ≥ 0

⇔ 2a2 + 2b+ 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0

⇔ (a - b)2 + (b - c)+ (c - a)2 ≥ 0 (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a – b = b – c = c – a = 0, tức là a = b = c


Bài 4 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao

Hãy so sánh các kết quả sau đây:

a) 2000+20052002+2003 (không dùng bảng số hoặc máy tính)

b) a+2+a+4 và a+a+6(a0)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Giả sử ta có 2000+2005<2000+2003(1)

Khi đó:

(1)(2000+2005)2<(2000+2003)24005+22000.2005<4005+22002.20032000.2005<2002.20032000.2005<(2000+2)(20052)2000.2005<2000.2005+6(ld) 

Vậy 2000+2005<2000+2003

Câu b:

Giả sử ta có a+2+a+4a+a+6(a0)(2)

Ta có:

(2)(a+2+a+4)2(a+a+6)22a+6+2(a+2)(a+6)2a+6+2a(a+6)(a+2)(a+4)a(a+6)a2+6a+8a2+6a80 

Vì 80 là vô lý nên a+2+a+4>a+a+6(a0)(2)


Bài 5 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng, nếu a > 0 và b > 0 thì 1a+1b4a+b

Hướng dẫn giải:

Với a > 0, b > 0 ta có:

1a+1b4a+ba+bab4a+b(a+b)24aba2+2ab+b24ab(ab)20(ld)

Vậy 1a+1b4a+b

Đẳng thức xảy ra khi a = b


Bài 6 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì a3 + b3 ≥  ab(a + b). Khi nào đẳng thức xảy ra?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

a3 + b3 ≥  ab(a + b)

⇔ (a + b)(a2 - ab + b2) – ab(a + b) ≥  0

⇔ (a + b)(a - b)2 ≥  0 (luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi a = b


Bài 7 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

a) Chứng minh rằng a2 + ab + b2 ≥ 0 với mọi số thực a, b.

b) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tùy ý, ta có a4 + b4 ≥ a3b + ab3

Hướng dẫn giải:

Câu a: 

Ta có:

a2+ab+b20a2+2.a.b2+b24+3b240(a+b2)2+3b240(ld)

Vậy a2 + ab + b2 ≥ 0 với mọi số thực a, b.

Câu b:

Ta có:

a4+b4a3b+ab3a4a3bab3+b40a3(ab)b3(ab)0(ab)(a3b3)0(ab)2(a2+ab+b2)0(ld)

Vậy a4 + b4 ≥ a3b + abvới mọi a, b


Bài 8 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng nếu a, b và c là độ dài ba cạnh một tam giác thì a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:

a<b+ca2<a(b+c)a2<ab+ac(1)b<a+cb2<bc+bc(2)c<a+bc2<ca+cb(3)

Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:

a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)


Bài 9 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng nếu  a ≥ 0 và b > 0 thì a+b2.a2+b22a3+b32

Hướng dẫn giải:

Ta có:

a+b2.a2+b22a3+b32a3+ab2+a2b+b32a3+2b3a3ab2a2b+b30(ab)(a2b2)0(ab)2(a+b)0(ld)

Vậy a+b2.a2+b22a3+b32


Bài 10 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

a) Chứng minh rằng, nếu xy0 thì x1+xy1+y

b) Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b ta có: |ab|1+|ab||a|1+|a|+|b|1+|b|

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Với xy0, ta có:

x1+xy1+yx(1+y)y(1+x)x+xyy+xyxy

Điều này đúng với giả thiệt 

Vậy ta có điều phải chứng minh

Câu b:

Vì |ab||a|+|b| nên theo câu a ta có:

|ab|1+|ab||a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b||a|1+|a|++|b|1+|b|

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0.


Bài 11 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì ab+ba2

b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì ab+ba2

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Nếu a, b là hai số cùng dấu thì ab;ba là hai số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

ab+ba2ab.ba=2

Câu b:

Nếu a, b là hai số trái dấu thì ab;ba là hai số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

ab+(ba)2ab+ba2


Bài 12 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x + 3)(5 – x) với −3 ≤ x ≤ 5

Hướng dẫn giải:

Vì −3 ≤ x ≤ 5 nên x + 3 ≥ 0 và 5 – x ≥ 0

Hai số không âm nên x + 3và 5 – x có tổng là: (x + 3) + (5 – x) = 8 không đổi

Do đó: f(x) đạt giá trị lớn nhất khi x + 3 = 5 – x ⇔ x = 1

Vậy với x = 1, f(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 16.

Vì f(x) ≥ 0 nên giá trị nhỏ nhất của f(x) = 0 khi x = −3 hoặc x = 5


Bài 13 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=x+2x1 với x > 1

Hướng dẫn giải:

Vì x > 1 nên x - 1 và 2x1 là hai số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

f(x)=x+2x1=1+(x1)+2xa1+2(x1).2x1=1+22

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x1=2x1x=1+2

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 1+22 tại x=1+2

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 4 Bài 1 Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt. 

Tham khảo thêm

Bình luận

Thảo luận về Bài viết

Có Thể Bạn Quan Tâm ?