Bài 1 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao
Chứng minh rằng, nếu a > b và ab > 0 thì
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Vậy
Bài 2 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao
Chứng minh rằng nửa chu vi của tam giác lớn hơn mỗi cạnh của tam giác đó.
Hướng dẫn giải:
Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác, khi đó ta có nửa chu vi của tam giác đó là:
Ta có:
Vì b + c > a (bđt tam giác) nên p > a
Chứng minh tương tự ta có p > b và p > c.
Bài 3 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao
Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
⇔ a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ≥ 0
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
⇔ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a – b = b – c = c – a = 0, tức là a = b = c
Bài 4 trang 109 SGK Toán 10 nâng cao
Hãy so sánh các kết quả sau đây:
a)
b)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Giả sử ta có
Khi đó:
Vậy
Câu b:
Giả sử ta có
Ta có:
Vì
Bài 5 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao
Chứng minh rằng, nếu a > 0 và b > 0 thì
Hướng dẫn giải:
Với a > 0, b > 0 ta có:
Vậy
Đẳng thức xảy ra khi a = b
Bài 6 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì a3 + b3 ≥ ab(a + b). Khi nào đẳng thức xảy ra?
Hướng dẫn giải:
Ta có:
a3 + b3 ≥ ab(a + b)
⇔ (a + b)(a2 - ab + b2) – ab(a + b) ≥ 0
⇔ (a + b)(a - b)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a = b
Bài 7 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao
a) Chứng minh rằng a2 + ab + b2 ≥ 0 với mọi số thực a, b.
b) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tùy ý, ta có a4 + b4 ≥ a3b + ab3
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có:
Vậy a2 + ab + b2 ≥ 0 với mọi số thực a, b.
Câu b:
Ta có:
Vậy a4 + b4 ≥ a3b + ab3 với mọi a, b
Bài 8 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu a, b và c là độ dài ba cạnh một tam giác thì a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
Hướng dẫn giải:
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
Bài 9 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b > 0 thì
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Vậy
Bài 10 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao
a) Chứng minh rằng, nếu
b) Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b ta có:
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Với
Điều này đúng với giả thiệt
Vậy ta có điều phải chứng minh
Câu b:
Vì
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0.
Bài 11 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì
b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Nếu a, b là hai số cùng dấu thì
Câu b:
Nếu a, b là hai số trái dấu thì
Bài 12 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x + 3)(5 – x) với −3 ≤ x ≤ 5
Hướng dẫn giải:
Vì −3 ≤ x ≤ 5 nên x + 3 ≥ 0 và 5 – x ≥ 0
Hai số không âm nên x + 3và 5 – x có tổng là: (x + 3) + (5 – x) = 8 không đổi
Do đó: f(x) đạt giá trị lớn nhất khi x + 3 = 5 – x ⇔ x = 1
Vậy với x = 1, f(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 16.
Vì f(x) ≥ 0 nên giá trị nhỏ nhất của f(x) = 0 khi x = −3 hoặc x = 5
Bài 13 trang 110 SGK Toán 10 nâng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hướng dẫn giải:
Vì x > 1 nên x - 1 và
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là
Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 4 Bài 1 Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.
Thảo luận về Bài viết