Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 4 Luyện tập (trang 112)

Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương thì $\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{c}+\frac{c^4}{a}\ge 3abc$

Hướng dẫn giải:

ÁP dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có:

$\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{c}+\frac{c^4}{a}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a^4}{b}.\frac{b^4}{c}.\frac{c^4}{a}}=3abc$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a^4}{b}=\frac{b^4}{c}=\frac{c^4}{a}\iff a=b=c$

---

Một khách hàng đến một cửa hàng bán hoa quả mua 2kg cam đã yêu cầu cân hai lần. Lần đầu, người bán hàng đặt quả cân 1kg lên đĩa cân bên phải và đặt cam lên đĩa cân bên trái cho đến khi cân thăng bằng và lần sau, đặt quả cân 1kg lên đĩa cân bên trái và cam lên đĩa cân bên phải cho đến khi cân thăng bằng. Nếu cái cân đĩa đó không chính xác (do hai cánh tay đòn dài, ngắn khác nhau) nhưng quả cân là đúng 1kg thì khách hàng có mua được đúng 2kg cam hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

Gọi a và b theo thứ tự là độ dài cánh tay đòn bên phải và bên trái của cái cân đĩa (a > 0; b > 0; đơn vị: cm)

Trong lần cân đầu, khối lượng cam được cân là $\frac{a}{b}$ (kg)

Trong lần cân thứ hai, khối lượng cam được cân là $\frac{b}{a}$ (kg)

Do đó, khối lượng cam được cân cả hai lần là $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ (kg)

Nếu cái cân đĩa đó không chính xác, tức a ≠ b, thì vì $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2$ nên khách hàng mua được nhiều hơn 2kg cam.

---

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

a) $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}<1$

b) $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<2$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có $\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},\mathrm{\forall }k\ge 1$

Do đó:

$\begin{array}{l}\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\ =1-\frac{1}{n+1}<1\end{array}$

Câu b:

Ta có $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k\left(k+1\right)}\Rightarrow \frac{1}{k^2}<\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\left(k\ge 2\right)$

Do đó:

$\begin{array}{l}\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<1+\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\\ \Rightarrow \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n}<2\end{array}$

---

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: $1\le x\le 4$

Với  $1\le x\le 4$, ta có:

$A^2={\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}\right)}^2=3+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(4-x\right)}\le 3+x-1+4-x=6$ (Bất đẳng thức Cô si)

Suy ra $A\le \sqrt{6}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x-1=4-x\iff x=\frac{5}{2}$ (thỏa điều kiện)

Vậy giá trị lớn nhất của A là $\sqrt{6}$ tại $x=\frac{5}{2}$

Ta lại có $A^2=3+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(4-x\right)}\ge 3$ (vì $\sqrt{\left(x-1\right)\left(4-x\right)}\ge 0$ với mọi x thỏa $1\le x\le 4$)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 tại x = 1 hoặc x = 4

---

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:

(a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

(a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

⇔ a² + b² + c² +2ab + 2bc + 2ca ≤ 3a² + 3b² + 3c²

⇔ 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0

⇔ (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² ≥ 0  (luôn đúng)

Vậy (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

---

Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì ${\left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)}^4\ge abcd$

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:

$\frac{a+b+c+d}{4}=\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)\ge \frac{1}{2}\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)\ge \sqrt{\sqrt{ab}.\sqrt{cd}}=\sqrt[4]{abcd}$

Do đó ${\left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)}^4\ge abcd$ (đpcm)

---

Chứng minh rằng:

a) Nếu x² + y² thì $\left|x+y\right|\le \sqrt{2}$

b) Nếu 4x - 3y = 15 thì $x^2+y^2\ge 9$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có ${\left(x+y\right)}^2=x^2+y^2+2xy\le x^2+y^2+x^2+y^2=2\left(\mathrm{d}\mathrm{o}{x}^2+y^2\ge 2xy,\mathrm{\forall }x,y\right)$

$\Rightarrow \left|x+y\right|\le \sqrt{2}$

Câu b:

Vì $4x-3y=15\Rightarrow y=\frac{4}{3}x-5$ nên:

$\begin{array}{l}{x}^2+y^2=x^2+{\left(\frac{4}{3}x-5\right)}^2\\ =x^2+\frac{16}{9}{x}^2-\frac{40}{3}x+25\\ =\frac{25}{9}{x}^2-\frac{40}{3}x+25\\ ={\left(\frac{5}{3}x-4\right)}^2+9\ge 0\end{array}$

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 4 Luyện tập (trang 112) Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.