Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 3 Luyện tập (trang 85)

Giải và biện luận các phương trình (m, a và k là tham số)
a) $\left|mx-x+1\right|=\left|x+2\right|$

b) $\frac{a}{x+2}+\frac{1}{x-2a}=1$

c) $\frac{mx-m-3}{x+1}=1$

d) $\frac{3x+k}{x-3}=\frac{x-k}{x+3}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

$\begin{array}{l}\left|mx-x+1\right|=\left|x+2\right|\iff [\begin{array}{c}mx-x+1=x+2\\ mx-x+1=-x-2\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}\left(m-2\right)x=1\\ mx=-3\end{array}\end{array}$

• Với m = 2: $S=\left\{-\frac{3}{2}\right\}$
• Với m = 0: $S=\left\{-\frac{1}{2}\right\}$
• Với m ≠ 0 và m ≠ 2: $S=\left\{\frac{1}{m-2};-\frac{3}{m}\right\}$

Câu b: 

Điều kiện: x ≠ 2 và x ≠ 2a

Ta có: $\frac{a}{x-2}+\frac{1}{x-2a}=1$

$\begin{array}{l}\iff a\left(x-2a\right)+x-2=\left(x-2\right)\left(x-2a\right)\\ x^2-3\left(a+1\right)x+2{\left(a+1\right)}^2=0\\ \mathrm{\Delta }=9{\left(a+1\right)}^2-8{\left(a+1\right)}^2={\left(a+1\right)}^2\end{array}$

Phương trình có hai nghiệm là:

$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{3\left(a+1\right)+a+1}{2}=2a+2\\ x_2=\frac{3\left(a+1\right)-\left(a+1\right)}{2}=a+1\end{array}$

Kiểm tra điều kiện:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}{x}_1\ne 2\\ x_1\ne 2a\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2a+2\ne 2\\ 2a+2\ne 2a\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}a\ne 0\\ 2\ne 0\end{array}\iff a\ne 0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}_2\ne 2\\ x_2\ne 2a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a+1\ne 2\\ a+1\ne 2a\end{array}\iff a\ne 1$

Vậy

• a = 0 thì S = {1}
• a = 1 thì S = {4}
• a ≠ 0 và a ≠ 1 thì S = {2a + 2;a + 1}

Câu c:

Điều kiện: x ≠ -1 thì phương trình tương đương với:

mx – m – 3 = x + 1 ⇔ (m – 1)x = m + 4    (1)

• Nếu m = 1 thì 0x = 5 phương trình vô nghiệm
• Nếu m ≠ 1 thì (1) có nghiệm $x=\frac{m+4}{m-1}$

$x=\frac{m+4}{m-1}$ là nghiệm của phương trình đã cho $\iff \frac{m+4}{m-1}\ne -1\iff m+4\ne -m+1\iff m\ne -\frac{3}{2}$

Vậy:

• Với $\{\begin{array}{l}m\ne -\frac{3}{2}\\ m\ne 1\end{array}$: $S=\left\{\frac{m+4}{m-1}\right\}$
• Với $[\begin{array}{l}m=-\frac{3}{2}\\ m=1\end{array}$: $S=\mathrm{\varnothing }$

Câu d:

Điều kiện: $x\ne \pm 3$

Ta có: 

$\begin{array}{l}\frac{3x+k}{x-3}=\frac{x-k}{x+3}\\ \Rightarrow \left(3x+k\right)\left(x+3\right)=\left(x-k\right)\left(x-3\right)\\ \iff x^2+\left(k+6\right)x=0\iff [\begin{array}{c}x=0\left(n\right)\\ x=-k-6\end{array}\end{array}$

Kiểm tra điều kiện:

$\{\begin{array}{l}x\ne 3\\ x\ne -3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-k-6\ne 3\\ -k-6\ne -3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}k\ne -9\\ k\ne -3\end{array}$

Vậy:

• k = - 3 hoặc k = - 9 thì S = {0}
• k ≠ - 3 hoặc k ≠ - 9 thì S = {0, - k, -6}

---

Giải và biện luận phương trình sau (m và a là những tham số)

a) $\left(2x+m-4\right)\left(2mx-x+m\right)=0$

b) $\left|mx+2x-1\right|=\left|x\right|$

c) $\left(mx+1\right)\sqrt{x-1}=0$

d) $\frac{2a-1}{x-2}=a-2$

e) $\frac{\left(m+1\right)x+m-2}{x+3}=m$

f) $\left|\frac{ax+1}{x-1}\right|=a$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có $\left(2x+m-4\right)\left(2mx-x+m\right)=0$

$\iff [\begin{array}{l}2x+m-4=0\\ 2mx-x+m=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{4-m}{2}\\ \left(2m-1\right)x=-m\end{array}$

• Với $m=\frac{1}{2}$ phương trình có nghiệm $x=\frac{4-m}{2}=\frac{7}{4}$
• Với $m\ne \frac{1}{2}$ phương trình có 2 nghiệm: $x=\frac{4-m}{2};x=\frac{m}{1-2m}$

Câu b:

Ta có $\left|mx+2x-1\right|=\left|x\right|$

$\iff [\begin{array}{l}mx+2x-1=x\\ mx+2x-1=-x\end{array}\iff [\begin{array}{l}\left(m+1\right)x=1\\ \left(m+3\right)x=1\end{array}$

• Với m = - 1 phương trình có nghiệm $x=\frac{1}{2}$
• Với m = - 3 phương trình có nghiệm $x=-\frac{1}{2}$
• Với m ≠ - 1 và m ≠ - 3 thì phương trình có 2 nghiệm: $x=\frac{1}{m+1};x=\frac{1}{m+3}$

Câu c:

Điều kiện: $x\ge 1$

Ta có $\left(mx+1\right)\sqrt{x-1}=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ mx+1=0\end{array}\left(1\right)$

• Với m = 0, phương trình có nghiệm x = 1
• Với m ≠ 0, $\left(1\right)\iff x=-\frac{1}{m}$

Kiểm tra điều kiện:

$\begin{array}{l}-\frac{1}{m}\ge 1\iff -\frac{1}{m}-1\ge 0\iff \frac{-m-1}{m}\ge 0\\ \iff \frac{m+1}{m}\le 0\iff -1\le m<0\end{array}$

Do đó:

Câu d:

Điều kiện: $x\ne 2$

Ta có

$\begin{array}{l}\frac{2a-1}{x-2}=a-2\Rightarrow 2a-1=\left(a-2\right)\left(x-2\right)\\ \iff \left(a-2\right)x=4a-5\end{array}$                  (1)

• Với $a=2$ thì $S=\mathrm{\varnothing }$
• Với $a\ne 2$ thì  $\left(1\right)\iff x=\frac{4a-5}{a-2}$

Kiểm tra điều kiện:

$x\ne 2\iff \frac{4a-5}{a-2}\ne 2\iff 4a-5\ne 2a-4\iff a\ne \frac{1}{2}$

Vậy:

• Với $a=2$ hoặc $a=\frac{1}{2}:S=\mathrm{\varnothing }$
• Với $a\ne 2$ hoặc $a\ne \frac{1}{2}:S=\left\{\frac{4a-5}{a-2}\right\}$

Câu e: 

Điều kiện: $x\ne -3$

Phương trình đã cho tương đương với:

$\left(m+1\right)x+m-2=m\left(x+3\right)\iff x=2m+2$

x = 2m + 2 là nghiệm của phương trình $\iff 2m+2\ne -3\iff m\ne -\frac{5}{2}$

Vậy 

• Với $m\ne -\frac{5}{2}$ thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 2m + 2
• Với $m=-\frac{5}{2}$ thì phương trình vô nghiệm 

Câu f:

Rõ ràng $a<0$ thì phương trình vô nghiệm

Với $a\ge 0$. Điều kiện $x\ne 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}\left|\frac{ax+1}{x-1}\right|=a\iff [\begin{array}{c}\frac{ax+1}{x-1}=a\\ \frac{ax+1}{x-1}=-a\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{c}ax+1=ax-a\\ ax+1=-ax+a\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}a=-1\left(l\right)\\ 2ax=a-1\end{array}\end{array}$

Vậy 

• Với $a=0$: $S=\mathrm{\varnothing }$
• Với $a>0:S=\left\{\frac{a-1}{2a}\right\}$

---

Bằng cách đặt ẩn phụ, giải các phương trình sau:

a) $4x^2-12x-5\sqrt{4x^2-12x+11}+15=0$

b) $x^2+4x-3\left|x+2\right|+4=0$

c) $4x^2+\frac{1}{x^2}+\left|2x-\frac{1}{x}\right|-6=0$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$4x^2-12x-5\sqrt{4x^2-12x+11}+15=0$

Đặt $t=\sqrt{4x^2-12x+11}\left(t\ge 0\right)$

$\Rightarrow 4x^2-12x=t^2-11$

Ta có phương trình 

$\begin{array}{l}{t}^2-11-5t+15=0\iff t^2-5t+4=0\\ \iff [\begin{array}{c}t=1\\ t=4\end{array}\end{array}$

Với t = 1, ta có:

$\sqrt{4x^2-12x+11}=1\iff 4x^2-12x+10=0$ (vô nghiệm)

Với t = 4, ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt{4x^2-12x+11}=4\iff 4x^2-12x-5=0\\ \iff x=\frac{3\pm \sqrt{14}}{2}\end{array}$

Câu b:

Đặt $t=\left|x+2\right|\left(t\ge 0\right)\Rightarrow x^2+4x=t^2-4$

Ta có phương trình:

$\begin{array}{l}{t}^2-4-3t+4=0\iff t^2-3t=0\\ \iff [\begin{array}{c}t=0\\ t=3\end{array}\iff [\begin{array}{c}\left|x+2\right|=0\\ \left|x+2\right|=3\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=-2\\ x+2=3\\ x+2=-3\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=-2\\ x=1\\ x=-5\end{array}\end{array}$

Vậy S = {- 5; - 2;1}

Câu c:

Đặt $t=\left|2x-\frac{1}{x}\right|\left(t\ge 0\right)$

$\Rightarrow t^2=4x^2+\frac{1}{x^2}-4\Rightarrow 4x^2+\frac{1}{x^2}=t^2+4$

Ta có phương trình:

$t^2+t-2=0\iff [\begin{array}{l}t=1\\ t=-2\left(l\right)\end{array}$

Với $t=1\iff [\begin{array}{l}2x-\frac{1}{x}=1\\ 2x-\frac{1}{x}=-1\end{array}\iff [\begin{array}{l}2x^2-x-1=0\\ 2x^2+x-1=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=1;x=-\frac{1}{2}\\ x=-1;x=\frac{1}{2}\end{array}$

Vậy $S=\left\{-1;-\frac{1}{2};\frac{1}{2};1\right\}$

---

Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất : |mx – 2| = |x + 4| (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

|mx – 2| = |x + 4| ⇔ (mx -2)² = (x + 4)²

⇔ (m² – 1)x²  - 4(m + 2)x – 12 = 0 (1)

• Với m = 1 thì (1) trở thành : - 12x – 12 = 0 ⇔ x = - 1
• Với m = - 1 thì (1) trở thành: - 4x – 12 = 0 ⇔ x = - 3
• Với m ≠ ± 1 thì (1) có nghiệm duy nhất:

$\begin{array}{l}\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=4{\left(m+2\right)}^2+12\left(m^2-1\right)=0\\ \iff 4m^2+4m+1=0\\ \iff {\left(2m+1\right)}^2=0\iff m=-\frac{1}{2}\end{array}$

Vậy với $m\in \left\{-1;-\frac{1}{2};1\right\}$ thì phương trình có nghiệm duy nhất.

---

Với giá trị của a thì phương trình sau vô nghiệm ?

$\frac{x+1}{x-a+1}=\frac{x}{x+a+2}$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: $x\ne a-1$ và $x\ne -a-2$

Ta có:

(1) ⇔ (x + 1)(x + a + 2) = x(x – a + 1)

⇔ x² + (a + 3)x  + a  + 2 = x² – (a – 1)x

⇔ 2(a + 1)x = - a – 2 (2) 

• Với  a = - 1 thì S = Ø
• Với a ≠ - 1 thì $\left(2\right)\iff x=\frac{-a-2}{2\left(a+1\right)}$

Kiểm tra điều kiện:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}x\ne a-1\\ x\ne -a-2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\frac{-a-2}{2\left(a+1\right)}\ne a-1\\ \frac{-a-2}{2\left(a+1\right)}\ne -a-2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}-a-2\ne 2\left(a^2-1\right)\\ -\left(a+2\right)\ne 2\left(a+2\right)\left(a+1\right)\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}2a^2+a\ne 0\\ \left(a+2\right)\left(2a+1\right)\ne 0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}a\ne 0\\ a\ne -\frac{1}{2}\\ a\ne -2\end{array}\end{array}$

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 3 Luyện tập (trang 85) Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.