Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 4 Bài 2 Đại cương về bất phương trình

Một bạn tập luận như sau: Do hai vế của bất phương trình \(\sqrt {x - 1}  < \left| x \right|\) luôn không âm nên bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương x - 1 < x².

Theo em, hai bất phương trình trên có tương đương không? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

Không tương đương vì 0 là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của bất phương trình thứ nhất.

Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau:

a) \(\sqrt x  >  - \sqrt x \)

b) \(\sqrt {x - 3}  < 1 + \sqrt {x - 3} \)

c) \(x + \frac{1}{{x - 3}} \ge 2 + \frac{1}{{x - 3}}\)

d) \(\frac{x}{{\sqrt {x - 2} }} < \frac{2}{{\sqrt {x - 2} }}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

ĐKXĐ:  \(\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
 - x \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\)

Ta có x = 0 không là nghiệm của bất phương trình

Vậy \(S = \emptyset \)

Câu b:

ĐKXĐ: \(x \ge 3\)

Ta có: \(\sqrt {x - 3}  < 1 + \sqrt {x - 3}  \Leftrightarrow 0 < 1\) (luôn đúng)

Vậy \(S = \left[ {3; + \infty } \right)\)

Câu c:

ĐKXĐ: \(x \ne 3\)

Ta có: \(x + \frac{1}{{x - 3}} \ge 2 + \frac{1}{{x - 3}} \Leftrightarrow x \ge 2\)

Vậy \(S = \left[ {2; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\)

Câu d:

ĐKXĐ: x > 2

Ta có: \(\frac{x}{{\sqrt {x - 2} }} < \frac{2}{{\sqrt {x - 2} }} \Leftrightarrow x < 2\) (không thỏa)

Vậy \(S = \emptyset \)

Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình \(2x - 1 \ge 0\) ?

\(2x - 1 + \frac{1}{{x - 3}} \ge \frac{1}{{x - 3}}\) và \(2x - 1 - \frac{1}{{x + 3}} \ge  - \frac{1}{{x + 3}}\)

Hướng dẫn giải:

Gọi S₁, S₂, S₃ lần lượt là tập nghiệm của 3 bất phương trình trên.

Ta có: \({S_1} = \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right),{S_2} = \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\},{S_3} = \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Vậy \(2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 2x - 1 - \frac{1}{{x + 3}} \ge  - \frac{1}{{x + 3}}\)

Trong bốn cặp bất phương trình sau đây, hãy chọn ra tất cả các cặp bất phương trình tương đương (nếu có).

a) x - 2 > 0 và x²(x - 2) < 0;

b) x - 2 < 0 và x²(x - 2) > 0;

c) x - 2 ≤ 0 và x²(x - 2) ≤ 0;

d) x - 2 ≥ 0 và x²(x - 2) ≥ 0.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

• x - 2 > 0 ⇔ x > 2

Suy ra tập nghiệm là S₁ = (2; +∞);

• x²(x 2) < 0 ⇔ x ≠ 0 và x < 2

Suy ra tập nghiệm là S₂ = (- ∞; 0) ∪ (0; 2);

Vậy cặp bất phương trình không tương đương.

Câu b:

• x - 2 < 0 ⇔ x < 2 => Tập nghiệm là S₃ = (- ∞; 2);
• x²(x - 2) > 0 ⇔ x ≠ 0 và x > 2 ⇔ x > 2

Suy ra tập nghiệm là S₄ = (2; +∞).

Vậy cặp bất phương trình không tương đương.

Câu c:

• x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2 => Tập nghiệm S₅ = (-∞; 2].
• x²(x — 2) ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 => Tập nghiệm S₆ = (-∞; 2],

Vậy cặp bất phương trình tương đương.

Câu d:

• x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 => Tập nghiệm S₇ = [2; +∞).
• x²(x - 2) ≥ 0 ⇔ x - 2 > 0 ⇔ x > 2 => Tập nghiệm S₈ = [2; +∞).

Vậy cặp bất phương trình tương đương.

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 4 Bài 2 Đại cương về bất phương trình với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.