Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 3 Bài 5 Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Giải các hệ phương trình 

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 2\\
{x^2} + {y^2} = 164
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 5xy + {y^2} = 7\\
2x + y = 1
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, suy ra y = x - 2

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} = 164\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 4 = 164\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 80 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 10 \Rightarrow y = 8\\
x =  - 8 \Rightarrow y =  - 10
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy hệ có 2 nghiệm (10;8) và (- 8; - 10)

Câu b:

Thay y = 1 - 2x vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

\(\begin{array}{l}
{x^2} - 5x\left( {1 - 2x} \right) + {\left( {1 - 2x} \right)^2} = 7\\
 \Leftrightarrow 15{x^2} - 9x - 6 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow y =  - 1\\
x =  - \frac{2}{3} \Rightarrow y = \frac{9}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy hệ có 2 nghiệm là (1; - 1) và \(\left( { - \frac{2}{3};\frac{9}{5}} \right)\)

---

Giải các hệ phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\
xy + x + y = 5
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - x + y = 2\\
xy + x - y =  - 1
\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x = 2y\\
{y^2} - 3y = 2x
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
S + P = 5\\
{S^2} - 2P + S = 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = 5 - S\\
{S^2} - 2\left( {5 - S} \right) + S = 8
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = 5 - S\\
{S^2} - 3S - 18 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
S = 3\\
P = 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
S =  - 6\\
P = 11
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)

i) Với S = 3, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình:

\({x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 2
\end{array} \right.\)

Ta có nghiệm (1;2) và (2;1)

ii) Với S = - 6, P = 11 thì hệ phương trình vô nghiệm vì S² - 4P = 36 - 44 = - 8 < 0 

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1;2) và (2;1)

Câu b:

Đặt x' = - x, ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x{'^2} + {y^2} + x' + y = 2\\
 - x'y - x' - y =  - 1
\end{array} \right.\)

Đặt S = x' + y, P = x'y ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{S^2} - 2P + S = 2\\
S + P = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{S^2} + S - 2\left( {1 - S} \right) = 2\\
P = 1 - S
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{S^2} + 3S - 4 = 0\\
P = 1 - S
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
S = 1\\
P = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
S =  - 4\\
P = 5
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)

• Với S = 1, P = 0 thì x', y là nghiệm phương trình:

\({X^2} - X = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = 0\\
X = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x' = 0\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x' = 1\\
y = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\) 

Ta có nghiệm (0;1) và (- 1;0)

• Với S = - 4, P = 5 thì hệ phương trình vô nghiệm vì \({S^2} - 4P < 0\)

Vậy hệ có nghiệm là (0;1) và (- 1;0)

Câu c:

Trừ theo vế của hai phương trình ta được:

x² – y² – 3x + 3y = 2y – 2x

⇔ (x – y)(x + y) – (x – y) = 0

⇔ (x – y)(x + y – 1) = 0

⇔ x – y = 0 hoặc x + y – 1 = 0

Vậy hệ đã cho tương ứng với:

\(\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x = 2y\\
x - y = 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( I \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x = 2y\\
x + y - 1 = 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {II} \right)
\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x = 2y\\
x - y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x\left( {x - 5} \right) = 0\\
x = y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y = 0\\
x = y = 5
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\left( {II} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x = 2\left( {1 - x} \right)\\
y = 1 - x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - x - 2 = 0\\
y = 1 - x
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
y = 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y =  - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là (0;0), (5;5), (- 1;2), (2; - 1)

---

Tìm quan hệ giữa S và P để hệ phương trình sau có nghiệm:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = S\\
xy = P
\end{array} \right.\)

(S và P là hai số cho trước)

Hướng dẫn giải:

x, y là nghiệm của phương trình: X² - SX + P = 0    (1)

(1) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  = {S^2} - 4P \ge 0\)

---

Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 208\\
xy = 96
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = 55\\
xy = 24
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt S = x + y, P = xy ta có hệ:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{S^2} - 2P = 208\\
P = 96
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{S^2} = 400\\
P = 96
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
S = 20\\
P = 96
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
S =  - 20\\
P = 96
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)

• Với S = 20, P = 96 thì x, y là nghiệm phương trình:

\({X^2} - 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = 8\\
X = 12
\end{array} \right.\)

Ta có nghiệm (8; 12) và (12; 8)

• Với S = - 20, P = 96 thì x, y là nghiệm phương trình:

\({X^2} + 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = - 8\\
X = - 12
\end{array} \right.\)

Ta có nghiệm (- 8; - 12) và (- 12; - 8)

Vậy hệ có 4 nghiệm (8;12), (12;8), (- 8; - 12), (- 12; - 8)

Câu b:

Thay \(y = \frac{{24}}{x}\) vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có:

Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}
{t^2} - 55t - 576 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 64\\
t =  - 9\left( l \right)
\end{array} \right.\\
t = 64 \Leftrightarrow {x^2} = 64 \Leftrightarrow x =  \pm 8
\end{array}\)

Nếu \(x = 8 \Rightarrow y = 3\)

Nếu \(x =  - 8 \Rightarrow y = 3\)

Vậy hệ có hai nghiệm (8;3) và (- 8; - 3)

---

Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :

a) Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; - 4)

b) f(2) = 6

c) Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5

Hướng dẫn giải:

Giả sử f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

f(0) = - 4 ⇒ c = - 4

f(2) = 6 ⇒ 4a + 2b + c = 6 ⇒ 4a + 2b = 10 ⇒ 2a + b = 5        (1)

Ta có: (x₁ – x₂ )² = 25 ⇔ S² – 4P = 25

Với \(\left\{ \begin{array}{l}
S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\
P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 4}}{a}
\end{array} \right.\)

Do đó \(\frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{16}}{a} = 25\) \( \Leftrightarrow {b^2} + 16a = 25{a^2}\)          (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2a + b = 5\\
{b^2} + 16a = 25{a^2}
\end{array} \right.\)

Hay b = 5 - 2a vào (2), ta được:

\(\begin{array}{l}
{\left( {5 - 2a} \right)^2} + 16a = 25{a^2} \Leftrightarrow 21{a^2} + 4a - 25 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 1 \Rightarrow b = 3\\
a =  - \frac{{25}}{{21}} \Rightarrow b = \frac{{155}}{{21}}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = {x^2} + 3a - 4\) và \(y =  - \frac{{25}}{{21}}{x^2} + \frac{{155}}{{21}}x - 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 3 Bài 5 Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.