Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 3 Bài 5 Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Bài 45 trang 100 SGK Toán 10 nâng cao

Giải các hệ phương trình 

a) {xy=2x2+y2=164

b) {x25xy+y2=72x+y=1

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, suy ra y = x - 2

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

x2+(x2)2=1642x24x+4=164x22x80=0[x=10y=8x=8y=10

Vậy hệ có 2 nghiệm (10;8) và (- 8; - 10)

Câu b:

Thay y = 1 - 2x vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

x25x(12x)+(12x)2=715x29x6=0[x=1y=1x=23y=95

Vậy hệ có 2 nghiệm là (1; - 1) và (23;95)


Bài 46 trang 100 SGK Toán 10 nâng cao

Giải các hệ phương trình

a) {x2+y2+x+y=8xy+x+y=5

b) {x2+y2x+y=2xy+xy=1

c) {x23x=2yy23y=2x

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ:

{S+P=5S22P+S=8{P=5SS22(5S)+S=8{P=5SS23S18=0[{S=3P=2{S=6P=11

i) Với S = 3, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình:

x23x+2=0[x=1x=2

Ta có nghiệm (1;2) và (2;1)

ii) Với S = - 6, P = 11 thì hệ phương trình vô nghiệm vì S2 - 4P = 36 - 44 = - 8 < 0 

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1;2) và (2;1)

Câu b:

Đặt x' = - x, ta có hệ:

{x2+y2+x+y=2xyxy=1

Đặt S = x' + y, P = x'y ta có:

{S22P+S=2S+P=1{S2+S2(1S)=2P=1S{S2+3S4=0P=1S[{S=1P=0{S=4P=5

  • Với S = 1, P = 0 thì x', y là nghiệm phương trình:

X2X=0[X=0X=1[{x=0y=1{x=1y=0 

Ta có nghiệm (0;1) và (- 1;0)

  • Với S = - 4, P = 5 thì hệ phương trình vô nghiệm vì S24P<0

Vậy hệ có nghiệm là (0;1) và (- 1;0)

Câu c:

Trừ theo vế của hai phương trình ta được:

x2 – y2 – 3x + 3y = 2y – 2x

⇔ (x – y)(x + y) – (x – y) = 0

⇔ (x – y)(x + y – 1) = 0

⇔ x – y = 0 hoặc x + y – 1 = 0

Vậy hệ đã cho tương ứng với:

[{x23x=2yxy=0(I){x23x=2yx+y1=0(II)

Ta có:

(I){x23x=2yxy=0{x(x5)=0x=y[x=y=0x=y=5

(II){x23x=2(1x)y=1x{x2x2=0y=1x[{x=1y=2{x=2y=1

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là (0;0), (5;5), (- 1;2), (2; - 1)


Bài 47 trang 100 SGK Toán 10 nâng cao

Tìm quan hệ giữa S và P để hệ phương trình sau có nghiệm:

{x+y=Sxy=P

(S và P là hai số cho trước)

Hướng dẫn giải:

x, y là nghiệm của phương trình: X2 - SX + P = 0    (1)

(1) có nghiệm Δ=S24P0


Bài 48 trang 100 SGK Toán 10 nâng cao

Giải các hệ phương trình sau:

a) {x2+y2=208xy=96

b) {x2y2=55xy=24

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt S = x + y, P = xy ta có hệ:

{S22P=208P=96{S2=400P=96[{S=20P=96{S=20P=96

  • Với S = 20, P = 96 thì x, y là nghiệm phương trình:

X220X+96=0[X=8X=12

Ta có nghiệm (8; 12) và (12; 8)

  • Với S = - 20, P = 96 thì x, y là nghiệm phương trình:

X2+20X+96=0[X=8X=12

Ta có nghiệm (- 8; - 12) và (- 12; - 8)

Vậy hệ có 4 nghiệm (8;12), (12;8), (- 8; - 12), (- 12; - 8)

Câu b:

Thay y=24x vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có:

Đặt t=x2(t0), ta có phương trình:

t255t576=0[t=64t=9(l)t=64x2=64x=±8

Nếu x=8y=3

Nếu x=8y=3

Vậy hệ có hai nghiệm (8;3) và (- 8; - 3)


Bài 49 trang 100 SGK Toán 10 nâng cao

Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :

a) Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; - 4)

b) f(2) = 6

c) Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5

Hướng dẫn giải:

Giả sử f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

f(0) = - 4 ⇒ c = - 4

f(2) = 6 ⇒ 4a + 2b + c = 6 ⇒ 4a + 2b = 10 ⇒ 2a + b = 5        (1)

Ta có: (x– x2 )= 25 ⇔ S2 – 4P = 25

Với {S=x1+x2=baP=x1x2=ca=4a

Do đó b2a2+16a=25 b2+16a=25a2          (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

{2a+b=5b2+16a=25a2

Hay b = 5 - 2a vào (2), ta được:

(52a)2+16a=25a221a2+4a25=0[a=1b=3a=2521b=15521

Vậy hàm số y=x2+3a4 và y=2521x2+15521x4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 3 Bài 5 Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt. 

Tham khảo thêm

Bình luận

Thảo luận về Bài viết

Có Thể Bạn Quan Tâm ?