Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 4 Bài 4 Dấu của nhị thức bậc nhất

Lập bảng xét dấu của các biểu thức

a) \(\frac{{4 - 3x}}{{2x + 1}}\)

b) \(1 - \frac{{2 - x}}{{3x - 2}}\)

c) \(x{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {3 - x} \right)\)

d) \(\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {1 - x} \right)}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt  \(f(x)=\frac{{4 - 3x}}{{2x + 1}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
4 - 3x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}\\
2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}
\end{array}\)

Bảng xét dấu

Vậy \(f\left( x \right) < 0\) với \(x \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right)\)

\(f\left( x \right) > 0\) với \(x \in \left( { - \frac{1}{2};\frac{4}{3}} \right)\)

\(f(x)=0\) tại \(x = \frac{4}{3}\)

Câu b:

Đặt \(f(x) = 1 - \frac{{2 - x}}{{3x - 2}} = \frac{{3x - 2 - 2 + x}}{{3x - 2}} = \frac{{4x - 4}}{{3x - 2}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
4x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1\\
3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}
\end{array}\)

Bảng xét dấu 

Vậy \(f\left( x \right) < 0\) với \(\left( {\frac{2}{3};1} \right)\)

\(f\left( x \right) > 0\) với \(\left( { - \infty ;\frac{2}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

\(f(x)=0\) tại x = 1

Câu c:

Đặt  \(f(x)=x{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {3 - x} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
x = 0\\
x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\\
3 - x = 0 \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\)

Bảng xét dấu 

Vậy \(f\left( x \right) < 0\) với \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

\(f\left( x \right) > 0\) với \(\left( {0;2} \right) \cup \left( {2;3} \right)\)

\(f(x)=0\) tại x = 0, x = 2 và x = 3

Câu d:

Đặt \(f(x)=\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {1 - x} \right)}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
x = 0\\
x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\\
x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5\\
1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)

Bảng xét dấu 

Vậy \(f\left( x \right) < 0\) với \(\left( {0;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\)

\(f\left( x \right) > 0\) với \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1;3} \right) \cup \left( {3;5} \right)\)

\(f(x)=0\) tại x = 0 và x = 3

---

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bậc nhất rồi xét dấu:

a) \(-x^2+x+6\)

b) \(2{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 3 \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt \(f(x)=-x^2+x+6\)

Ta có \( f(x)=- {x^2} + x + 6 =  - \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) = \left( { - x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\)

Bảng xét dấu

Vậy \(f\left( x \right) < 0\) với \(\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

\(f\left( x \right) > 0\) với (- 2;3)

\(f(x)=0\) tại x = - 2 và x = 3

Câu b:

Đặt \(f(x)=2{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 3 \)

Ta có \(f(x) = 2{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 3  = 2\left( {x - 1} \right)\left( {x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2x - \sqrt 3 } \right)\)

Bảng xét dấu

Vậy \(f\left( x \right) < 0\) với \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right)}\)

\(f\left( x \right) > 0\) với \(\left( { - \infty ;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

\(f(x)=0\) tại \(x={\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\) và x = 1

---

Giải các bất phương trình

a) \(\frac{{\left( {3 - x} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x + 1}} \le 0\)

b) \(\frac{3}{{1 - x}} \ge \frac{5}{{2x + 1}}\)

c) \(\left| {2x - \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt 2  - x} \right| > 3x - 2\)

d) \(\left| {\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)x + 1} \right| \le \sqrt 3  + \sqrt 2 \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
3 - x = 0 \Leftrightarrow x = 3\\
x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\\
x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1
\end{array}\)

Bảng xét dấu 

 

Vậy tập nghiệm là \(S = \left( { - 1;2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)

Câu b:

Ta có \(\frac{3}{{1 - x}} \ge \frac{5}{{2x + 1}} \Leftrightarrow \frac{{3\left( {2x + 1} \right) - 5\left( {1 - x} \right)}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {2x + 1} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{11x - 2}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {2x + 1} \right)}} \ge 0\)

\(\begin{array}{l}
11x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{{11}}\\
1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1\\
2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}
\end{array}\)

Bảng xét dấu 

 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left[ {\frac{2}{{11}};1} \right)\)

Câu c:

Bảng xét dấu

 

Với \(x < \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), ta có:

\(\begin{array}{l}
pt \Leftrightarrow  - 2x + \sqrt 2  + \sqrt 2  - x > 3x - 2\\
 \Leftrightarrow 6x < 2\sqrt 2  + 2\\
 \Leftrightarrow x < \frac{{\sqrt 2  + 1}}{3}
\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện ta có \(x < \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Với \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} \le x < \sqrt 2 \), ta có:

\(pt \Leftrightarrow 2x - \sqrt 2  + \sqrt 2  - x > 3x - 2 \Leftrightarrow x < 1\)

Kết hợp với điều kiện ta có \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} \le x < 1\)

Với \(x \ge \sqrt 2 \), ta có:

\(pt \Leftrightarrow 2x - \sqrt 2  - \sqrt 2  + x > 3x - 2 \Leftrightarrow 0x >  - 2 + 2\sqrt 2 \) (vô nghiệm)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right) = \left( { - \infty ;1} \right)\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
\left| {\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)x + 1} \right| \le \sqrt 3  + \sqrt 2 \\
 \Leftrightarrow  - \sqrt 3  - \sqrt 2  \le \left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)x + 1 \le \sqrt 3  + \sqrt 2 \\
 \Leftrightarrow  - \sqrt 3  - \sqrt 2  - 1 \le \left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)x \le \sqrt 3  + \sqrt 2  - 1\\
 \Leftrightarrow \frac{{ - \sqrt 3  - \sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  - \sqrt 3 }} \ge x \ge \frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  - \sqrt 3 }}\\
 \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3  + \sqrt 2  + 1} \right)\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right) \ge x \ge \left( {1 - \sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)\\
 \Leftrightarrow 5 + 2\sqrt 6  + \sqrt 3  + \sqrt 2  \ge x \ge  - 5 - 2\sqrt 6  + \sqrt 3  + \sqrt 2 
\end{array}\)

Vậy \(S = \left[ { - 5 - 2\sqrt 6  + \sqrt 3  + \sqrt 2 ;5 + 2\sqrt 6  + \sqrt 3  + \sqrt 2 } \right]\)

---

Giải các hệ phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt 2  - x} \right) > 0\\
\frac{{4x - 3}}{2} < x + 3
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{2}{{2x - 1}} \le \frac{1}{{3 - x}}\\
\left| x \right| < 1
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt 2  - x} \right) > 0\,\,\,\left( 1 \right)}\\
{\frac{{4x - 3}}{2} < x + 3\,\,\,\left( 2 \right)}
\end{array}} \right.\)

Giải (1):

Bảng xét dấu

Suy ra tập nghiệm \({S_1} = \left( {\sqrt 2 ;3} \right)\)

Giải (2):

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4x - 3 < 2x + 6 \Leftrightarrow 2x < 9 \Leftrightarrow x < \frac{9}{2}\)

Vậy \(S = {S_1} \cap {S_2} = \left( {\sqrt 2 ;3} \right)\)

Câu b:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{2}{{2x - 1}} \le \frac{1}{{3 - x}}\,\,\,\left( 1 \right)}\\
{ - 1 < x < 1}
\end{array}} \right.\)

Giải (1):

\(\begin{array}{l}
\frac{2}{{2x - 1}} \le \frac{1}{{3 - x}} \Leftrightarrow \frac{2}{{2x - 1}} - \frac{1}{{3 - x}} \le 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{6 - 2x - 2x + 1}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {3 - x} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 4x + 7}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)}} \le 0
\end{array}\)

Bảng xét dấu

 

Suy ra tập nghiệm \({S_1} = \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left[ {\frac{7}{4};3} \right)\)

Kết hợp với - 1 < x < 1 ta có tập nghiệm của hệ là \(S = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\)