Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 4 Bài 4 Dấu của nhị thức bậc nhất

Lập bảng xét dấu của các biểu thức

a) $\frac{4-3x}{2x+1}$

b) $1-\frac{2-x}{3x-2}$

c) $x{\left(x-2\right)}^2\left(3-x\right)$

d) $\frac{x{\left(x-3\right)}^2}{\left(x-5\right)\left(1-x\right)}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt  $f(x)=\frac{4-3x}{2x+1}$

Ta có:

$\begin{array}{l}4-3x=0\iff x=\frac{4}{3}\\ 2x+1=0\iff x=-\frac{1}{2}\end{array}$

Bảng xét dấu

Vậy $f\left(x\right)<0$ với $x\in \left(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{4}{3};+\mathrm{\infty }\right)$

$f\left(x\right)>0$ với $x\in \left(-\frac{1}{2};\frac{4}{3}\right)$

$f(x)=0$ tại $x=\frac{4}{3}$

Câu b:

Đặt $f(x)=1-\frac{2-x}{3x-2}=\frac{3x-2-2+x}{3x-2}=\frac{4x-4}{3x-2}$

Ta có:

$\begin{array}{l}4x-4=0\iff x=1\\ 3x-2=0\iff x=\frac{2}{3}\end{array}$

Bảng xét dấu 

Vậy $f\left(x\right)<0$ với $\left(\frac{2}{3};1\right)$

$f\left(x\right)>0$ với $\left(-\mathrm{\infty };\frac{2}{3}\right)\cup \left(1;+\mathrm{\infty }\right)$

$f(x)=0$ tại x = 1

Câu c:

Đặt  $f(x)=x{\left(x-2\right)}^2\left(3-x\right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}x=0\\ x-2=0\iff x=2\\ 3-x=0\iff x=3\end{array}$

Bảng xét dấu 

Vậy $f\left(x\right)<0$ với $\left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left(3;+\mathrm{\infty }\right)$

$f\left(x\right)>0$ với $\left(0;2\right)\cup \left(2;3\right)$

$f(x)=0$ tại x = 0, x = 2 và x = 3

Câu d:

Đặt $f(x)=\frac{x{\left(x-3\right)}^2}{\left(x-5\right)\left(1-x\right)}$

Ta có:

$\begin{array}{l}x=0\\ x-3=0\iff x=3\\ x-5=0\iff x=5\\ 1-x=0\iff x=1\end{array}$

Bảng xét dấu 

Vậy $f\left(x\right)<0$ với $\left(0;1\right)\cup \left(5;+\mathrm{\infty }\right)$

$f\left(x\right)>0$ với $\left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left(1;3\right)\cup \left(3;5\right)$

$f(x)=0$ tại x = 0 và x = 3

---

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bậc nhất rồi xét dấu:

a) $-x^2+x+6$

b) $2x^2-\left(2+\sqrt{3}\right)x+\sqrt{3}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt $f(x)=-x^2+x+6$

Ta có $f(x)=-x^2+x+6=-\left(x+2\right)\left(x-3\right)=\left(-x-2\right)\left(x-3\right)$

Bảng xét dấu

Vậy $f\left(x\right)<0$ với $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)\cup \left(3;+\mathrm{\infty }\right)$

$f\left(x\right)>0$ với (- 2;3)

$f(x)=0$ tại x = - 2 và x = 3

Câu b:

Đặt $f(x)=2x^2-\left(2+\sqrt{3}\right)x+\sqrt{3}$

Ta có $f(x)=2x^2-\left(2+\sqrt{3}\right)x+\sqrt{3}=2\left(x-1\right)\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\left(x-1\right)\left(2x-\sqrt{3}\right)$

Bảng xét dấu

Vậy $f\left(x\right)<0$ với $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};1\right)$

$f\left(x\right)>0$ với $\left(-\mathrm{\infty };\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cup \left(1;+\mathrm{\infty }\right)$

$f(x)=0$ tại $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ và x = 1

---

Giải các bất phương trình

a) $\frac{\left(3-x\right)\left(x-2\right)}{x+1}\le 0$

b) $\frac{3}{1-x}\ge \frac{5}{2x+1}$

c) $\left|2x-\sqrt{2}\right|+\left|\sqrt{2}-x\right|>3x-2$

d) $\left|\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)x+1\right|\le \sqrt{3}+\sqrt{2}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

$\begin{array}{l}3-x=0\iff x=3\\ x-2=0\iff x=2\\ x+1=0\iff x=-1\end{array}$

Bảng xét dấu 

 

Vậy tập nghiệm là $S=\left(-1;2\right]\cup \left[3;+\mathrm{\infty }\right)$

Câu b:

Ta có $\frac{3}{1-x}\ge \frac{5}{2x+1}\iff \frac{3\left(2x+1\right)-5\left(1-x\right)}{\left(1-x\right)\left(2x+1\right)}\ge 0\iff \frac{11x-2}{\left(1-x\right)\left(2x+1\right)}\ge 0$

$\begin{array}{l}11x-2=0\iff x=\frac{2}{11}\\ 1-x=0\iff x=1\\ 2x+1=0\iff x=-\frac{1}{2}\end{array}$

Bảng xét dấu 

 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}\right)\cup \left[\frac{2}{11};1\right)$

Câu c:

Bảng xét dấu

 

Với $x<\frac{\sqrt{2}}{2}$, ta có:

$\begin{array}{l}pt\iff -2x+\sqrt{2}+\sqrt{2}-x>3x-2\\ \iff 6x<2\sqrt{2}+2\\ \iff x<\frac{\sqrt{2}+1}{3}\end{array}$

Kết hợp với điều kiện ta có $x<\frac{\sqrt{2}}{2}$

Với $\frac{\sqrt{2}}{2}\le x<\sqrt{2}$, ta có:

$pt\iff 2x-\sqrt{2}+\sqrt{2}-x>3x-2\iff x<1$

Kết hợp với điều kiện ta có $\frac{\sqrt{2}}{2}\le x<1$

Với $x\ge \sqrt{2}$, ta có:

$pt\iff 2x-\sqrt{2}-\sqrt{2}+x>3x-2\iff 0x>-2+2\sqrt{2}$ (vô nghiệm)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\mathrm{\infty };\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2};1\right)=\left(-\mathrm{\infty };1\right)$

Câu d:

$\begin{array}{l}\left|\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)x+1\right|\le \sqrt{3}+\sqrt{2}\\ \iff -\sqrt{3}-\sqrt{2}\le \left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)x+1\le \sqrt{3}+\sqrt{2}\\ \iff -\sqrt{3}-\sqrt{2}-1\le \left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)x\le \sqrt{3}+\sqrt{2}-1\\ \iff \frac{-\sqrt{3}-\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\ge x\ge \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\\ \iff \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\ge x\ge \left(1-\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\\ \iff 5+2\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}\ge x\ge -5-2\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{array}$

Vậy $S=\left[-5-2\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2};5+2\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}\right]$

---

Giải các hệ phương trình

a) $\{\begin{array}{l}\left(x-3\right)\left(\sqrt{2}-x\right)>0\\ \frac{4x-3}{2}<x+3\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}\frac{2}{2x-1}\le \frac{1}{3-x}\\ \left|x\right|<1\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\{\begin{array}{l}\left(x-3\right)\left(\sqrt{2}-x\right)>0\left(1\right)\\ \frac{4x-3}{2}<x+3\left(2\right)\end{array}$

Giải (1):

Bảng xét dấu

Suy ra tập nghiệm $S_1=\left(\sqrt{2};3\right)$

Giải (2):

$\left(2\right)\iff 4x-3<2x+6\iff 2x<9\iff x<\frac{9}{2}$

Vậy $S=S_1\cap S_2=\left(\sqrt{2};3\right)$

Câu b:

$\{\begin{array}{l}\frac{2}{2x-1}\le \frac{1}{3-x}\left(1\right)\\ -1<x<1\end{array}$

Giải (1):

$\begin{array}{l}\frac{2}{2x-1}\le \frac{1}{3-x}\iff \frac{2}{2x-1}-\frac{1}{3-x}\le 0\\ \iff \frac{6-2x-2x+1}{\left(2x-1\right)\left(3-x\right)}\le 0\iff \frac{-4x+7}{\left(2x+1\right)\left(3-x\right)}\le 0\end{array}$

Bảng xét dấu

 

Suy ra tập nghiệm $S_1=\left(-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}\right)\cup \left[\frac{7}{4};3\right)$

Kết hợp với - 1 < x < 1 ta có tập nghiệm của hệ là $S=\left(-1;\frac{1}{2}\right)$