| UBND TỈNH LAI CHÂU ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: Toán Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 09/04/2017 |
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^3} - 4x}} + \frac{6}{{6 - 3x}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right):\left( {x - 2 + \frac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right)\)
a) Rút gọn A;
b) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2: (4,0 điểm)
a) Phân tích các đa thức \(xy(x + y) - yz(y + z) + xz(x - z)\) thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng: \(B = {n^3}{({n^2} - 7)^2} - 36n\) chia hết cho 105 với mọi số nguyên n.
Câu 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: \(2{x^2} + 2xy + {y^2} + 9 = 6x - \left| {y + 3} \right|\)
b) Cho a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 2017.
Tính giá trị của biểu thức: \(P = \frac{{2017{a^2}bc}}{{ab + 2017a + 2017}} + \frac{{a{b^2}c}}{{bc + b + 2017}} + \frac{{ab{c^2}}}{{ac + c + 1}}\)
Câu 4: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình sau: \(\frac{{\left| {x + 3} \right|}}{4} - \frac{{\left| {x - 4} \right|}}{9} = \frac{1}{2} - \frac{{x + 5}}{{36}}\)
b) Cho \(ab \ge 1.\) Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}\)
Câu 5: (5,0 điểm)
Cho hình vuông EFGH. Từ E, vẽ góc vuông xEy sao cho cạnh Ex cắt các đường thẳng FG và GH theo thứ tự ở M và N, còn cạnh Ey cắt hai đường thẳng trên lần lượt ở P và Q.
a) Chứng minh rằng các tam giác EMQ và ENP là các tam giác vuông cân.
b) Đường thẳng QM cắt NP tại R. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và QM. Tứ giác EKRI là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh bốn điểm F, H, K, I thẳng hàng.
Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 8 tỉnh Lai Châu:
Câu 1: (2,0 điểm)
a) \(A = \left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^3} - 4x}} + \frac{6}{{6 - 3x}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right):\left( {x - 2 + \frac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right) (x \ne 0;x \ne \pm 2)\)
\( = \left( {\frac{{{x^2}}}{{x(x - 2)(x + 2)}} - \frac{{2x(x + 2)}}{{x(x - 2)(x + 2)}} + \frac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(x + 2)}}} \right):\frac{{{x^2} - 4 + 10 - {x^2}}}{{x + 2}}\)
\( = \frac{{{x^2} - 2{x^2} - 4x + {x^2} - 2x}}{{x(x - 2)(x + 2)}}.\frac{{x + 2}}{6} = \frac{{ - 6x}}{{x(x - 2)(x + 2)}}.\frac{{x + 2}}{6}\)
\( = \frac{{ - 1}}{{x - 2}}\)
b) A có giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{x - 2}} \in {\rm Z} \Leftrightarrow x - 2 \in U(1) = \left\{ { \pm 1} \right\}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}x - 2 = 1 \Leftrightarrow x = 3(tm)\\x - 2 = - 1 \Leftrightarrow x = 1(tm)\end{array}\)
Vậy \(x \in \left\{ {1;3} \right\}\)thì A có giá trị nguyên.
⇒ Trên đây là nội dung Đề thi HSG Toán 8 cấp tỉnh có đáp án năm 2017 Sở GD&ĐT Lai Châu và một phần trích hướng dẫn giải. Để xem hướng dẫn giải chi tiết các bài còn lại, các em vui lòng xem tiếp trên web bằng cách xem Online hoặc đăng nhập vào Chúng tôi.net để tải về máy tính.
