| PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN HẢI | ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) |
Bài 1: (4,5 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử: M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
2) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu a + b + c = 0 thì \(\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right).\left( {\frac{c}{{a - b}} + \frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}}} \right) = 9\)
3) Cho A = p4 trong đó p là số nguyên tố. Tìm các giá trị của p để tổng các ước dương của A là số chính phương.
Bài 2: (4,0 điểm)
1) Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x - 4}}{{{x^3} - 1}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right):\left( {1 - \frac{{x - 8}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)\) (Với\(x \ne 1)\)
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi x là nghiệm của phương trình: \({x^2} - 3x + 2 = 0\)
2. Chứng minh rằng: \(f(x) = {({x^2} + x - 1)^{2018}} + {({x^2} - x + 1)^{2018}} - 2\) chia hết cho \(g(x) = {x^2} - x\)
Bài 3: (3,5 điểm)
1) Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số) \(\frac{{x - m}}{{x + 3}} + \frac{{x - 3}}{{x + m}} = 2\)
2) Giải phương trình: \(2x{(8x - 1)^2}(4x - 1) = 9\)
Bài 4 (7,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm P sao cho AM = CP. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi Q là trung điểm của CH, đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC tại N.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Khi M là trung điểm của AD. Chứng minh BQ vuông góc với NP
c) Đường thẳng AP cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{A{P^2}}} + \frac{1}{{4A{F^2}}}\)
Bài 5 (1,0 điểm): Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 8 Phòng GD&ĐT Tiền Hải:
Bài 1:
1.
M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
\(M = {\rm{ }}({x^2} + 7x + 10)({x^2} + 7x + 12) - 24\)
\(M{\rm{ }} = {\rm{ }}({x^2} + 7x + 11 - 1)({x^2} + 7x + 11 + 1) - 24\)
\(M{\rm{ }} = {\rm{ }}{({x^2} + 7x + 11)^2} - {\rm{ }}25\)
\(M = {\rm{ }}({x^2} + 7x + 6){\rm{ }}({x^2} + 7x + 16)\)
\(M{\rm{ }} = (x + 1)(x + 6)({x^2} + 7x + 16)\)
2. Các ước dương của A là 1, p, p2, p3, p4
Tổng các ươc là \(1 + p + {p^2} + {p^3} + {p^4} = {n^2}\)\((n \in N)\)
\( \Rightarrow 4 + 4p + 4{p^2} + 4{p^3} + 4{p^4} = 4{n^2}\)
Ta có \(4{p^4} + 4{p^3} + {p^2} < 4{n^2} < 4{p^4} + {p^2} + 4 + 4{p^3} + 8{p^2} + 4p\)
\( \Rightarrow {(2{p^2} + p)^2} < {(2n)^2} < {(2{p^2} + p + 2)^2} \Rightarrow {(2n)^2} = {(2{p^2} + p + 1)^2}\)
Do đó: \(4{p^4} + 4{p^3} + 4{p^2} + 4p + 4 = 4{p^4} + 4{p^3} + 5{p^2} + 2p + 1 \Leftrightarrow {p^2} - 2p - 3 = 0\)
p1 = -1(loại); p2 = 3
3. Đặt \(\frac{{a - b}}{c} = x;\frac{{b - c}}{a} = y;\frac{{c - a}}{b} = z \Rightarrow \frac{c}{{a - b}} = \frac{1}{x};\frac{a}{{b - c}} = \frac{1}{y};\frac{b}{{c - a}} = \frac{1}{z}\) (1) \( \Leftrightarrow (x + y + z)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 9\)
Ta có \((x + y + z)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 3 + \left( {\frac{{y + z}}{x} + \frac{{x + z}}{y} + \frac{{x + y}}{z}} \right)\)(2)
Ta lại có: \(\frac{{y + z}}{x} = \left( {\frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right).\frac{c}{{a - b}} = \frac{{{b^2} - bc + ac - {a^2}}}{{ab}}.\frac{c}{{a - b}}\)
\( = \frac{{c(a - b)(c - a - b)}}{{ab(a - b)}} = \frac{{c(c - a - b)}}{{ab}} = \frac{{c\left[ {2c - (a + b + c)} \right]}}{{ab}} = \frac{{2{c^2}}}{{ab}}\)
Tương tự ta có \(\frac{{x + z}}{y} = \frac{{2{a^2}}}{{bc}};\frac{{x + y}}{z} = \frac{{2{b^2}}}{{ac}}\)
\((x + y + z)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 3 + \frac{{2{c^2}}}{{ab}} + \frac{{2{a^2}}}{{bc}} + \frac{{2{b^2}}}{{ac}} = 3 + \frac{2}{{abc}}({a^3} + {b^3} + {c^3})\)
Vì \(a + b + c = 0 \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\)
Do đó \((x + y + z)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 3 + \frac{2}{{abc}}.3abc = 3 + 6 = 9\)
Trên đây là một phần trích nội dung của Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Tiền Hải. Để xem tiếp nội dung lời giải còn lại các em vui lòng đăng nhập vào website Chúng tôi.Net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.
