| TRƯỜNG THCS THĂNG LONG | ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2020 – 2021 THỜI GIAN: 120 PHÚT |
Câu 1(4.0 điểm) : Cho biểu thức A = \(\frac{x}{{x + 1}} - \frac{{3 - 3x}}{{{x^2} - x + 1}} + \frac{{x + 4}}{{{x^3} + 1}}\)
a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1
Câu 2(4.0 điểm): Giải phương trình:
a) \({x^2} - 3x + 2 + \left| {x - 1} \right| = 0\)
b) \(8{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + 4{\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} - 4\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right){\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {\left( {x + 4} \right)^2}\)
Câu 3(3.0 điểm) : Cho xy ≠ 0 và x + y = 1.
Chứng minh rằng: \(\frac{x}{{{y^3} - 1}} + \frac{y}{{{x^3} - 1}} - \frac{{2\left( {xy - 2} \right)}}{{{x^2}{y^2} + 3}}\) = 0
Câu 4(3.0 điểm): Chứng minh rằng: Với mọi x ∈ Q thì giá trị của đa thức :
M = \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x + 8} \right) + 16\) là bình phương của một số hữu tỉ.
Câu 5 (6.0 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H ∈ BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo .
b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: \(\frac{{GB}}{{BC}} = \frac{{HD}}{{AH + HC}}\)
ĐÁP ÁN
Câu 1:
a) Rút gọn: A = \(\frac{x}{{x + 1}} - \frac{{3 - 3x}}{{{x^2} - x + 1}} + \frac{{x + 4}}{{{x^3} + 1}}\) = \(\frac{{x\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {3 - 3x} \right) + x + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)
= \(\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 2x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\)
b) Với mọi x ≠ - 1 thì A = \(\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\) = \(\frac{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}{{{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}\)
Vì \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0;{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\forall x \ne - 1 \Rightarrow A > 0,\forall x \ne - 1\)
---(Để xem nội dung đầy đủ, chi tiết của phần đáp án đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
...
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Đề thi chọn HSG môn Toán 8 năm 2021 có đáp án Trường THCS Thăng Long. Để xem toàn bộ nội dung và đáp án đề thi các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em trong học sinh lớp 8 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới.
Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tài liệu cùng chuyên mục tại đây:
