Phần 1. Mệnh đề – Tập hợp
1. Mệnh đề
– Mệnh đề là những khẳng định có tính đúng (Đ) hoặc sai (S). Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
– Phủ định của một mệnh đề A là mệnh đề \(\bar A\).
+ \(\bar A\) đúng nếu A sai.
+ \(\bar A\) sai nếu A đúng.
– Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề kéo theo A ⇒ B chỉ sai khi A đúng, B sai.
+ B ⇒ A là mệnh đề đảo của A ⇒ B.
+ Nếu A ⇒ B đúng thì A là điều kiện đủ để có B và B là điều kiện cần để có A.
– Mệnh đề tương đương
+ Mệnh đề tương đương A ⇔ B là một mệnh đề đúng nếu A và B cùng đúng hoặc cùng sai.
+ Nếu A ⇔ B đúng thì:
- A ⇒ B là định lí thuận.
- B ⇒ A là định lí đảo.
- A ⇔ B là định lí thuận đảo.
- A là điều kiện cần và đủ để có B.
- B là điều kiện cần và đủ để có A.
– Mệnh đề chứa biến, kí hiệu p(x), là một phát biểu có liên quan đến đại lượng thay đổi x. p(x) là một mệnh đề nếu ta cho x một giá trị nhất định.
– Mệnh đề với mọi: \(\forall x \in X:p(x)\)
– Mệnh đề tồn tại: \(\exists x \in X:p(x)\)
– Phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Để chứng minh P đúng, ta giả sử P sai rồi sử dụng lập luận toán học để suy ra mâu thuẫn.
Các dạng toán thường gặp
1. Dạng 1: Định giá trị của một mệnh đề
Phương pháp
– Kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề.
– Mệnh đề chứa biến: Tìm tập hợp D của các biến x để p(x) đúng hoặc sai.
2. Dạng 2: Phát biểu định lí dưới dạng điều kiện cần, đủ
Phương pháp
– Nếu A ⇒ B đúng: A là điều kiện đủ để có B.
– Nếu B ⇒ A sai: B là điều kiện cần để có A
– Nếu A ⇒ B đúng và B ⇒ A đúng: A là điều kiện cần và đủ để có B.
3. Dạng 3: Tìm mệnh đề phủ định
Phương pháp
1) \(\overline {A \wedge B} \Leftrightarrow \bar A \vee \bar B\)
\(\overline {A \vee B} \Leftrightarrow \bar A \wedge \bar B\)
2) \(\overline {\forall x \in D:p(x)} \Leftrightarrow \exists x \in D:\overline {p(x)} \)
\(\overline {\exists x \in D:p(x)} \Leftrightarrow \forall x \in D:\overline {p(x)} \)
4. Dạng 4: Chứng minh định lí A ⇒ B
Phương pháp:
– Cách 1: Chứng minh trực tiếp
Ta giả thiết A đúng, sử dụng giả thiết và suy luận toán học để dẫn đến B đúng.
– Cách 2: Chứng minh bằng phản chứng
Ta giả thiết B sai, sử dụng suy luận toán học để dẫn đến A sai.
2. Tập hợp và các phép toán trên các tập hợp
– Tập con: \(A \subset B \Leftrightarrow \forall x,x \in A \Rightarrow x \in B\).
– Hai tập hợp bằng nhau: \(A = B \Leftrightarrow A \subset B\) và \(B \subset A\).
– Hợp của hai tập hợp: \(A \cup B = \{ x\left| {x \in A} \right.\) hoặc \(x \in B\} \).
– Giao của hai tập hợp: \(A \cap B = \{ x\left| {x \in A} \right.\) và \(x \in B\} \).
– Hiệu của 2 tập hợp bất kì: \(A\backslash B = \left\{ {x\left| {x \in A,x \notin B} \right.} \right\}\).
– Phép lấy phần bù của A trong E: (\(A \subset E\)): \({C_E}A = \left\{ {x\left| {x \in E,x \notin A} \right.} \right\}\).
– Các tập hợp con của tập hợp số thực: \(N* \subset N \subset Z \subset Q \subset R\).
Các dạng toán thường gặp
1. Dạng 1: Tìm tập hợp
Phương pháp
Phép liệt kê: \(A = \left( {{a_1};{a_2};{a_3};...} \right)\)
Nêu tính đặc trưng: \(A = \left\{ {x \in X|p(x)} \right\}\)
2. Dạng 2: Tìm tập hợp con
Phương pháp
\(\begin{array}{*{20}{l}} {A \subset B \Leftrightarrow \forall x \in A \Rightarrow x \in B}\\ {A\not \subset B \Leftrightarrow \exists x \in A \Rightarrow x \notin B} \end{array}\)
3. Dạng 3: Hai tập hợp bằng nhau
Phương pháp
\(A = B \Leftrightarrow A \subset B\) và \(B \subset A\).
\(A \ne B \Leftrightarrow A\not \subset B\) hoặc \(B\not \subset A\).
4. Dạng 4: Các phép toán giao, hợp, hiệu
Phương pháp
B1: Liệt kê A, B
B2: \(A \cap B\): Lấy phần tử chung
\(A \cup B\) : Lấy phần tử chung và riêng (Chỉ ghi một lần các phần tử giống nhau)
\(A\backslash B\) : Lấy phần tử của A và không phải của B
3. Bài tập
Bài 1: Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) 2 là số chẵn.
b) 2 là số nguyên tố.
c) 2 là số chính phương.
Giải:
Mệnh đề đúng là a và b.
Mệnh đề sai là c.
Bài 2: Tìm \(x \in D\) để P(x) đúng trong các trường hợp sau:
a) P(x): “\(2x + 3 \le 0\)”
b) P(x): “\({\left( {2x + 3} \right)^2} \le 0\)”
Giải:
a) \(D = \left( { - \infty ; - \dfrac{3}{2}} \right]\)
b) \(D = \left\{ { - \dfrac{3}{2}} \right\}\)
Bài 3: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí:
a) Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác đó là hình thoi có một góc vuông.
b) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.
c) Nếu số tự nhiên n chia hết cho 2 thì n2 chia hết cho 4.
Giải:
a) Tứ giác ABCD là hình vuông là điều kiện cần và đủ để ABCD là hình thoi có một góc vuông.
b) Số chia hết cho 6 là điều kiện cần và đủ để số đó chia hết cho 2 và cho 3.
c) n chia hết cho 2 là điều kiện đủ để n2 chia hết cho 4.
n2 chia hết cho 4 là điều kiện cần để n chia hết cho 2.
Bài 4: Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
(1) “ 2 vừa là số nguyên tố vừa là số chẵn”
(2) “\(\forall x \in R:{x^2} - x + 3 > 0\)”
Giải:
(1): “ 2 là hợp số hoặc 2 là số lẻ”
(2): “\(\exists x \in R:{x^2} - x + 3 \le 0\)”
Bài 5. Chứng minh định lí “ Nếu n là số tự nhiên chẵn thì chia hết cho 4”
...
--Để xem tiếp nội dung và đáp án bài tập 6 - 10 vui lòng xem online hoặc bấm tải về máy---
Phần 2. Hàm số bậc nhất và bậc hai
1. Tập xác định của hàm số
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.
Điều kiện xác định của một số dạng biểu thức:
\(\dfrac{1}{A}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(A \ne 0\)
\(\sqrt A \) có nghĩa khi và chỉ khi \(A \ge 0\)
\(\dfrac{1}{{\sqrt A }}\) có nghĩa khi và chỉ khi A > 0
2. Tính chẵn – lẻ của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D
a) Hàm số f là hàm số chẵn nếu thỏa mãn cả 2 điều kiện:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - x \in D}\\ {f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)} \end{array}} \right.\forall x \in D\)
Đồ thị của f nhận trục tung làm trục đối xứng.
b) Hàm số f là hàm số lẻ nếu thỏa mãn cả 2 điều kiện:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - x \in D}\\ {f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)} \end{array}} \right.\forall x \in D\)
Đồ thị của f nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
3. Sự biến thiên
Phương pháp
– Cách 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy \({x_1},{x_2} \in K;{x_1} < {x_2}\), đặt \(T = f({x_2}) - f({x_1})\)
+ Hàm số đồng biến trên \(K \Leftrightarrow T > 0\).
+ Hàm số nghịch biến trên \(K \Leftrightarrow T < 0\).
– Cách 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy \({x_1},{x_2} \in K;{x_1} \ne {x_2}\), đặt \(T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}\)
+ Hàm số đồng biến trên \(K \Leftrightarrow T > 0\).
+ Hàm số nghịch biến trên \(K \Leftrightarrow T < 0\).
4. Tịnh tiến đồ thị hàm số
5. Hàm số bậc nhất
6. Hàm số bậc hai
7. Bài tập
Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số
a) \(y = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {x + 6} }}\)
ĐS: \(D = \left( { - 6; + \infty } \right)\)
b) \(y = \dfrac{3}{{x - 1}}\)
ĐS: D = R \ {1}
c) \(y = \sqrt {x - 5} + {x^2} + 1\)
ĐS: \(D = \left[ {5; + \infty } \right)\)
d) \(y = \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{{x^2} + 4x + 3}}\)
ĐS: \(D = \left[ { - 2; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\)
Bài 2. Xét tính chẵn- lẻ hàm số .
ĐS: Hàm số không chẵn không lẻ.
...
--Để xem đầy đủ nội dung phần 2 vui lòng xem online hoặc bấm tải về máy---
Phần 3. Phương trình – Hệ phương trình
1. Điều kiện xác định của phương trình
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là D1 và D2.
Khi đó phương trình f(x) = g(x) có điều kiện xác định là \(x \in D = {D_1} \cap {D_2}\).
Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x).
2. Phương trình tương đương, Phương trình hệ quả
2.1. Phương trình tương đương và phép biến đổi tương đương
Hai phương trình tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Một số phép biến đổi tương đương:
1. Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D và hàm số y = h(x) xác định trên D (TXĐ của h(x) có thể là một tập chứa D). Khi đó:
\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right) + h\left( x \right)\)
\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right)h\left( x \right) = g\left( x \right)h\left( x \right)\) nếu \(h\left( x \right) \ne 0\forall x \in D\).
2. Nếu f(x), g(x) cùng dấu thì: \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}\).
2.2. Phương trình hệ quả
– Nếu mọi nghiệm của f(x) = g(x) đều là nghiệm của \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) thì \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) là phương trình hệ quả của f(x) = g(x). Ta viết:
\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow {f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\).
– Phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ quả:
\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}\)
3. Phương trình bậc nhất; Phương trình bậc hai; Định lý Viét
3.1. Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0
1) \(a \ne 0\): Phương trình có một nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{b}{a}\).
2) a = 0 và \(b \ne 0\): Phương trình vô nghiệm.
3) a = b = 0: Phương trình có vô số nghiệm.
3.2. Giải và biện luận nghiệm phương trình dạng ax2 + bx + c = 0
1) a = 0: Phương trình trở về dạng ax + b = 0
2) \(a \ne 0\):
\(\Delta > 0\): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
\(x = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\) và \(x = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
\(\Delta = 0\): Phương trình có nghiệm kép \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\)
\(\Delta < 0\): Phương trình vô nghiệm.
3.3. Sử dụng định lý Viét
Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm \({x_1} \le {x_2}\).Đặt \(S = - \dfrac{b}{a};P = \dfrac{c}{a}\). Khi đó:
+ Nếu P < 0 thì \({x_1} < 0 < {x_2}\) (2 nghiệm trái dấu).
+ Nếu P > 0 và S > 0 thì \(0 < {x_1} \le {x_2}\) (2 nghiệm dương). (Cần tính \(\Delta \) trước).
+ Nếu P > 0 và S < 0 thì \({x_1} \le {x_2} < 0\) (2 nghiệm âm). (Cần tính \(\Delta \) trước).
4. Hệ phương trình
5. Bài tập
--Để xem đầy đủ nội dung phần 3 vui lòng xem online hoặc bấm tải về máy---
Phần 4. Vectơ
1. Tổng, hiệu của hai vectơ
Các quy tắc:
– Quy tắc ba điểm: Cho A, B, C tùy ý, ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
– Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
Ghi nhớ:
a) Cho I là trung điểm của AB và M là một điểm nào đó, khi đó:
+) \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {0.} \)
+) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MC} \)
b) Cho G là trọng tâm tam giác ABC, M là một điểm bất kì. Khi đó:
+) \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\)
+) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)
– Quy tắc về hiệu vectơ:
Nếu \(\overrightarrow {MN} \) là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kì ta luôn có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} \).
2. Tích của véc tơ với một số
Tích của số \(k \ne 0\) với vectơ \(\vec a\): Nếu \(k \ge 0\) thì \(k\vec a\) cùng hướng với \(\vec a\) và độ dài \(\left| {k\vec a} \right| = \left| k \right|\left| {\vec a} \right|\), nếu k < 0 thì \(k\vec a\) ngược hướng với \(\vec a\) và \(\left| {k\vec a} \right| = \left| k \right|\left| {\vec a} \right|\).
Quy ước: \(0.\vec a = \vec 0;k.\vec 0 = \vec 0\).
Tính chất:
Với hai vec tơ bất kì \(\vec a,\vec b\) và mọi số thực k, l, ta có:
1) \(k\left( {l\vec a} \right) = \left( {kl} \right)\vec a\)
2) \(\left( {k + l} \right)\vec a = k\vec a + l\vec a\)
3) \(k\left( {\vec a + \vec b} \right) = k\vec a + k\vec b\); \(k\left( {\vec a - \vec b} \right) = k\vec a - k\vec b\)
4) \(k\vec a = \vec 0 \Leftrightarrow k = 0\) hoặc \(\vec a = \vec 0\).
Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
\(\vec b\) cùng phương với \(\vec a\left( {\vec a \ne \vec 0} \right) \Leftrightarrow \exists k:\vec b = k\vec a\)
Ba điểm A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \exists k:\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \).
Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương:
Cho \(\vec a,\vec b\) không cùng phương, \(\vec x\) là một vectơ tùy ý. Khi đó luôn tồn tại duy nhất cặp số m và n sao cho \(\vec x = m\vec a + n\vec b\).
Phương pháp phân tích một vectơ qua 2 vectơ không cùng phương:
Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác, tích một số với một vectơ để biến đổi.
Chú ý: Cho đoạn thẳng AB, một điểm \(I \in AB\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {IB} \) thì với điểm M bất kì ta luôn có: \(\overrightarrow {MI} = \dfrac{{ - 1}}{{k - 1}}\overrightarrow {MA} + \dfrac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {MB} \)
3. Hệ trục tọa độ
4. Bài tập
--Để xem đầy đủ nội dung phần 4 vui lòng xem online hoặc bấm tải về máy---
Phần 5. Tích vô hướng và ứng dụng
1. Giá trị lượng giác góc
2. Tích vô hướng
3. Bài tập
--Để xem đầy đủ nội dung phần 5 vui lòng xem online hoặc bấm tải về máy---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Đề cương ôn thi HK1 môn Toán 10 năm 2020. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập .
Chúc các em học tập tốt !
