Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Thạch Xá

TRƯỜNG THCS THẠCH XÁ

ĐỀ THI HSG LỚP 8 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 1. (4,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \(2{x^2} + 5x - 3.\) 

b) \({x^4} + 2009{x^2} + 2008x + 2009.\) 

c) \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x + 8} \right) + 16.\) 

Câu 2. (3,0 điểm).

a) Rút gọn biểu thức: \({\left( {x - y + z} \right)^2} + {\left( {z - y} \right)^2} + \left( {x - y + z} \right)\left( {2y - 2z} \right).\) 

b) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

\(\left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} + \frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} + \frac{1}{{{x^2} + 5x + 6}} + \frac{1}{{{x^2} + 7x + 12}} + \frac{1}{{{x^2} + 9x + 20}}} \right).\frac{{{x^2} + 5x}}{5}.\) 

Câu 3. (4,0 điểm).

1) Giải phương trình:

a) \(3{x^2} + x - 6 - \sqrt 2  = 0.\) 

b) \(\frac{2}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{1}{{x + 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^3} + 1}}.\) 

2) Một số thập phân có phần nguyên là số có một chữ số. Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó, sau đó chuyển dấu phẩy sang trái 1 chữ số thì được số mới bằng \(\frac{9}{{10}}\) số ban đầu. Tìm số thập phân ban đầu.

Câu 4. (5,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? 

b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK.

c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC².

Câu 5. (2,0 điểm).

a) Cho \(a,b \in \). Chứng minh rằng nếu a chia 13 dư 2 và chia 13 dư 3 thì \({a^2} + {b^2}\) chia hết cho 13.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x - 4} \right).\) 

 

ĐÁP ÁN

Câu 1

a) \(2{x^2} + 5x - 3 = 2{x^2} + 6x - x - 3\) 

\(= 2x\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 3} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)\) 

b) \({x^4} + 2009{x^2} + 2008x + 2009 = {x^4} + {x^2} + 1 + 2008{x^2} + 2008x + 2008\) 

\(\begin{array}{l}
 = ({x^2} + x + 1)({x^2} - x + 1) + 2008({x^2} + x + 1)\\
 = ({x^2} + x + 1)({x^2} - x + 1 + 2008) = ({x^2} + x + 1)({x^2} - x + 2009)
\end{array}\) 

c) \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x + 8} \right) + 16 = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 8} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right) + 16\) 

\(= \left( {{x^2} + 10x + 16} \right)\left( {{x^2} + 10x + 24} \right) + 16\) 

Đặt \({x^2} + 10x + 20 = t\) 

\(= \left( {t - 4} \right)\left( {t + 4} \right) + 16 = {t^2} - 16 + 16 = {t^2}\) 

\(= {\left( {{x^2} + 10x + 20} \right)^2}\) 

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1. (4,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x⁴ + 2009x² + 2008x + 2009                      

b) 81x⁴ + 4                  

c)  (x² + 3x + 2)(x²+ 11x + 30) – 5

Câu 2. (3,0 điểm). Cho phân thức: \(P = \left( {\frac{{3{x^2} + 3}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - 1}}{{2{x^2} - 5x + 5}}\)  

a) Rút gọn P                           

b) Tìm giá trị lớn nhất của P

Câu 3. (4,0 điểm).

1) Giải phương trình:

a) \(\frac{{x - 1}}{{99}} + \frac{{x - 3}}{{97}} + \frac{{x - 5}}{{95}} = \frac{{x - 2}}{{98}} + \frac{{x - 4}}{{96}} + \frac{{x - 968}}{{975}} + \frac{{x - 6}}{{94}}\)  

b) \(\frac{1}{{{x^2} - 5x + 6}} + \frac{2}{{{x^2} - 8x + 15}} + \frac{3}{{{x^2} - 13x + 40}} =  - \frac{6}{5}\) 

2) Một ô tô phải đi trên quãng đường AB dài 60km trong thời gian nhất định. Nữa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6km/h. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ. 

..........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1: (4.0 điểm)

Cho biểu thức M = \(\frac{{{x^4} + 2}}{{{x^6} + 1}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 3}}\) 

1.  Rút gọn M                            

2. Tìm x để M ≥ 1 

3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M.

Câu 2: (4.0 điểm)

1. Cho số nguyên tố p > 3 và 2 số nguyên dương a, b sao cho: p² + a² = b² . Chứng minh a chia hết cho 12

2. Cho x, y là số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: \(\frac{{1 - 2x}}{{1 - x}} + \frac{{1 - 2y}}{{1 - y}} = 1\) 

Chứng minh M = \({{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}{\rm{ - xy}}\) là bình phương của một số hữu tỷ.

Câu 3: (4.0 điểm)

1. Tìm hai số nguyên dương x; y thoả mãn: \({(x + y)^4} = 40x + 1\)  

2. Giải  phương trình: \(\left( {3x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\left( {3x + 8} \right) =  - 16\)  

............

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Bài 1 (5,0 điểm)

Cho biểu thức: \(A = \frac{{4{x^3} - 8{x^2} + 3x - 6}}{{2{x^2} - 3x - 2}}\) 

a. Rút gọn A.

b. Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Bài 2 (3,0 điểm)

a. Chứng minh rằng: n³ + 2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn.

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = \(\frac{{x + 1}}{{\left| {x - 2} \right|}}\) với x là số nguyên.

Bài 3 (3,0 điểm)

Giải phương trình: \(\frac{{{x^2} + 1}}{x} + \frac{x}{{{x^2} + 1}} = \frac{5}{2}\)  

Bài 4 (3,0 điểm)

Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

a. 5x² + y² = 17 + 2xy.

b. \(\left| {x + 2} \right| + \left| {x - 1} \right| = 3 - {(y + 2)^2}\)  

..............

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1. (2,0 điểm)

a)  Phân tích đa thức sau thành nhân tử

\(\left( {{\rm{ x}} + {\rm{ 2}}} \right)\left( {{\rm{ x }} + {\rm{ 3}}} \right)\left( {{\rm{ x }} + {\rm{ 4}}} \right)\left( {{\rm{ x }} + {\rm{ 5}}} \right){\rm{ }} - {\rm{ 120}}\) 

b)  Rút gọn biểu thức: \(A = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \frac{2}{{2 - x}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right):\left( {x - 2 + \frac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right)\) rồi tìm x sao cho \(\left| A \right| =  - A\) 

Câu 2. (2,0 điểm)  Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{2020}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{x + 1}}}}{{{\rm{2019}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{x + 2}}}}{{{\rm{2018}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{x + 3}}}}{{{\rm{2017}}}}{\rm{ = x  + 2016}}\) 

b) \(\left( {{\rm{3x }} + {\rm{ 4}}} \right)\left( {{\rm{x }} + {\rm{ 1}}} \right){\left( {{\rm{6x }} + {\rm{ 7}}} \right)^{\rm{2}}}\; = {\rm{ 6}}\)  

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Tìm x, y nguyên dương biết: x² - y² + 2x - 4y – 10 = 0 

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴ là số chính phương.

.............

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Thạch Xá. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.