Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Quảng An

TRƯỜNG THCS QUẢNG AN

ĐỀ THI HSG LỚP 8 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 120 phút)

Bài 1. (6,0 điểm)

a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: \({\rm{A  =  }}{{\rm{x}}^{\rm{3}}} + 2019{x^2} + 2019x + 2018\)  

b. Tìm các giá trị  x và y thỏa mãn: \({{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {y^2} - 4x - 2y + 5 = 0\)  

c. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A =  5ⁿ⁺² + 26.5ⁿ + 8²ⁿ⁺¹ \( \vdots \) 59

Bài 2. (4,0 điểm)

a. Chứng minh \({{\rm{a}}^{\rm{2}}} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\) với mọi số thực a, b, c.

b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương \(P = \left( {{\rm{x + 5}}} \right)\left( {{\rm{x + 7}}} \right)\left( {x + 9} \right)\left( {x + 11} \right){\rm{  +   16}}{\rm{.}}\)  

Bài 3 (3.0 điểm): Cho biểu thức: \(P\, = \,\frac{1}{{{x^2} - x}} + \frac{1}{{{x^2} - 3x + 2}} + \frac{1}{{{x^2} - 5x + 6}} + \frac{1}{{{x^2} - 7x + 12}} + \frac{1}{{{x^2} - 9x + 20}}\)    

a)  Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.

b)  Rút gọn biểu thức P.

Bài 4. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB). Vẽ đường cao AH \(\left( {{\rm{H}} \in {\rm{BC}}} \right)\). Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.

a) Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC.

b) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK.

ĐÁP ÁN

Bài 1: a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: \({\rm{A  =  }}{{\rm{x}}^{\rm{3}}} + 2019{x^2} + 2019x + 2018\)  

\({\rm{A  =  }}{{\rm{x}}^{\rm{3}}} + 2019{x^2} + 2019x + 2018\) 

\({\rm{A  =  }}{{\rm{x}}^{\rm{3}}} - 1 + 2019({x^2} + x + 2019)\)  

\({\rm{A  =  (x  -  1)(}}{{\rm{x}}^2} + x + 1) + 2019({x^2} + x + 1)\)  

\({\rm{A  =  }}\left( {{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + x + 1} \right)(x - 1 + 2019)\)  

\({\rm{A  =  (}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{  +  x  +  1 )(}}x + 2018)\)  

b. Tìm các giá trị  x và y thỏa mãn: \({{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {y^2} - 4x - 2y + 5 = 0\)

\({x^{\rm{2}}} + {y^2} - 4x - 2y + 5 = 0 \Leftrightarrow ({x^2} - 4x + 4) + ({y^2} - 2y + 1) = 0\)  

\(\Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 0\)  

\( \Leftrightarrow x = 2\) và y = 1

c. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì  A =  5ⁿ⁺² + 26.5ⁿ + 8²ⁿ⁺¹  59

 5ⁿ⁺² + 26.5ⁿ + 8²ⁿ⁺¹ = 25.5ⁿ + 26.5ⁿ + 8.8²ⁿ = 5ⁿ(59 – 8) + 8.64ⁿ = 59.5ⁿ + 8(64ⁿ – 5ⁿ)  

59.5ⁿ \(\vdots\) 59 và 8(64ⁿ – 5ⁿ) \(\vdots\) (64 – 5) = 59      

Vậy 5ⁿ⁺² + 26.5ⁿ + 8²ⁿ⁺¹  59

...........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1. (3,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \({x^5} + {x^4} + 1\)  

b) \({\left( {{x^2}--\;8} \right)^2} + 36\)  

c) \({\left( {{x^2} - x + 1} \right)^2}--5x\left( {{x^2}--x + 1} \right) + 4{x^2}\)  

Câu 2. (3,0 điểm).

a) Rút gọn biểu thức: A = \( {\left( {a - b + c} \right)^2} - {\left( {b - c} \right)^2} + 2ab - 2ac\) 

b) Rút gọn: \(\frac{{{x^2} + x - 6}}{{{x^3} - 4{x^2} - 18x + 9}}\) 

c) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

\(3{\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {1 - x} \right)^2} + 2\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) - {\left( {2x + 3} \right)^2} - \left( {5 - 16x} \right)\)  

Câu 3. (4,0 điểm).

1) Giải phương trình:

a) \({x^3} + 5{x^2} - 4x - 20 = 0\) 

b) \(\frac{2}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{1}{{x + 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^3} + 1}}.\) 

2) Một người đi xe đạp, một người đi xe máy, một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ cùng ngày với vận tốc theo thứ tự lần lượt là 10km/h, 30km/h, 50km/h. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?

..........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1(4.0 điểm): Cho biểu thức  A = \(\frac{x}{{x + 1}} - \frac{{3 - 3x}}{{{x^2} - x + 1}} + \frac{{x + 4}}{{{x^3} + 1}}\)  

a) Rút gọn biểu thức A

b) Chứng minh rằng giá trị của  A luôn dương  với mọi x ≠ - 1

Câu 2(4.0 điểm): Giải phương trình:

a) \({x^2} - 3x + 2 + \left| {x - 1} \right| = 0\)  

b) \(8{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + 4{\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} - 4\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right){\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {\left( {x + 4} \right)^2}\)  

Câu 3(3.0 điểm): Cho xy ≠ 0 và x + y = 1.

Chứng minh rằng: \(\frac{x}{{{y^3} - 1}} + \frac{y}{{{x^3} - 1}} - \frac{{2\left( {xy - 2} \right)}}{{{x^2}{y^2} + 3}}\) = 0

...........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Bài 1 (4 điểm)

Cho biểu thức  A = \(\left( {\frac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} - x} \right):\frac{{1 - {x^2}}}{{1 - x - {x^2} + {x^3}}}\) với x khác -1 và 1.

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của biểu thức A tại x \( =  - 1\frac{2}{3}\).

c) Tìm giá trị của x để A < 0.

Bài 2 (3 điểm)

Cho \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 4.\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc} \right)\)  

Chứng minh rằng a = b = c.

Bài 3 (3 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

..........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1. (4,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) x² + 6x + 5             

2)  (x²  –  8)² + 36                   

3)  (x² – x + 1)² – 5x(x² – x + 1) + 4x²

Câu 2. (3,0 điểm).

1) Rút gọn biểu thức: A = \({\left( {a - b + c} \right)^2} - {\left( {b - c} \right)^2} + 2ab - 2ac\) 

2) Rút gọn: \(\frac{{{x^2} + x - 6}}{{{x^3} - 4{x^2} - 18x + 9}}\)  

3) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

\(3{\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) - {\left( {2x + 3} \right)^2} - \left( {5 - 20x} \right)\)  

Câu 3. (4,0 điểm).

1) Giải phương trình:

a) \({x^3} + 5{x^2} - 4x - 20 = 0\)  

b) \(\frac{{x - 971}}{{972}} + \frac{{x - 973}}{{970}} + \frac{{x - 975}}{{968}} + \frac{{x - 977}}{{966}} = \frac{{x - 972}}{{971}} + \frac{{x - 970}}{{973}} + \frac{{x - 968}}{{975}} + \frac{{x - 966}}{{977}}\)  

c) \(\frac{2}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{1}{{x + 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^3} + 1}}.\) 

2) Hai người làm chung công việc trong 4 ngày thì xong. Nhưng chỉ làm được trong 2 ngày, người kia đi làm công việc khác, người thứ hai làm tiếp trong 6 ngày nữa thì xong . Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc? 

........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Quảng An. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.