Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Phú Nhuận

TRƯỜNG THCS PHÚ NHUẬN

ĐỀ THI HSG LỚP 8 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 1 (3 điểm). Cho a, b, c thoả mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\) 

Tính giá trị của biểu thức: M = (a¹⁹ + b¹⁹)(b⁵ + c⁵)(c²⁰¹⁷ + a²⁰¹⁷)

Câu 2 (3 điểm). Cho phân  thức  A = \(\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 3{\rm{x + 2}}}}\)  

a) Tìm điều kiện của x để A xác định

b) Rút gọn A

c) Tìm x đề giá trị của A bằng 1   .

Câu 3 (3 điểm). Cho P = x² + x + 1. Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.

Câu 4 (4 điểm). Tính giá trị của các biểu thức sau:

A = – 1² + 2² – 3² + 4² – …… – 99² + 100²  

B = \(\frac{ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}+\frac{bc}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}+\frac{ca}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\); Biết  a +  b + c = 0

Câu 5 (3 điểm): Tổng tuổi của hai anh em hiện nay là 63. Tuổi của người anh hiện nay gấp đôi tuổi của người em lúc người anh bằng tuổi của em hiện nay. Hỏi tuổi hiện nay của mỗi người ?

Câu 6 (4 điểm). Cho hình vuông ABCD. Qua A kẽ hai đ­ờng thẳng vuông góc với nhau lần l­ợt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.

1) Chứng minh \(\Delta\)AQR và \(\Delta\)APS là các tam giác cân.

2) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

3) Chứng minh P là trực tâm \(\Delta\)SQR.

4) Chứng minh MN là trung trực của AC.

ĐÁP ÁN

Câu 1 (3 điểm): \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\) 

\(\Leftrightarrow  \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\) \(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{-(a+b)}{c(a+b+c)}\) 

<=> (a + b)c(a + b + c) = –ab(a + b) <=> (a + b)[c(a + b + c) + ab] = 0

<=> (a + b)[c(a + c) + bc + ab] = 0  <=>  (a + b)[c(a + c) + b(c + a)] = 0

<=> (a + b)(a + c)(c + b) = 0 <=> a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0

<=> a =  –b hoặc b = –c hoặc c = –a <=> M = 0

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1. (4,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x⁴ + 2009x² + 2008x + 2009                      

b) 81x⁴ + 4                  

c)  (x² + 3x + 2)(x²+ 11x + 30) – 5

Câu 2: (4.0 điểm)

1. Cho số nguyên tố p > 3 và 2 số nguyên dương a, b sao cho: p² + a² = b² . Chứng minh a chia hết cho 12

2. Cho x, y là số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: \(\frac{1-2x}{1-x}+\frac{1-2y}{1-y}=1\)

Chứng minh M =\({{\text{x}}^{2}}\text{+}{{\text{y}}^{2}}\text{-xy}\) là bình phương của một số hữu tỷ.

Câu 3: (4.0 điểm)

1. Tìm hai số nguyên dương x; y thoả mãn: \({{(x+y)}^{4}}=40x+1\)

2. Giảiphương trình: \(\left( 3x-2 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( 3x+8 \right)=-16\).

Câu 4. (5,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 60⁰, phân giác BD. Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.

a) Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh 

b) Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1 (2 điểm): Cho P = 1 +  x + x² + x³ + .........+ x²⁰¹⁴ + x²⁰¹⁵ $$

Chứng minh: (x - 1)P =  x²⁰¹⁶ - 1

Câu 2 (4 điểm): Cho biểu thức: \(K=\left( \frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}+\frac{{{x}^{2}}-4x-1}{{{x}^{2}}-1} \right).\frac{x+2017}{x}\) 

a. Tìm điều kiện đối với x để biểu thức K xác định.

b. Rút gọn biểu thức K.

c. Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên.

Câu 3 (3 điểm): Các cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài là a, b và diện tích bằng S. Tìm các góc của tam giác vuông biết (a + b)² = 8S.

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Bài 1 (5,0 điểm)

Cho biểu thức: \(A=\frac{4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+3x-6}{2{{x}^{2}}-3x-2}\) 

a. Rút gọn A.

b. Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Bài 2 (3,0 điểm)

a. Chứng minh rằng: n³ + 2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn.

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = \(\frac{x+1}{\left| x-2 \right|}\) với x là số nguyên.

Bài 3 (3,0 điểm)

Cho hai số không âm a và b thoả mãn \({{\text{a}}^{\text{2}}}\text{+}{{\text{b}}^{\text{2}}}\le \text{a+b}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(S=2019+{{\left( \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1} \right)}^{2020}}\).

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1. (2,0 điểm)

a)  Phân tích đa thức sau thành nhân tử

 \(\left( \text{ x}+\text{ 2} \right)\left( \text{ x }+\text{ 3} \right)\left( \text{ x }+\text{ 4} \right)\left( \text{ x }+\text{ 5} \right)\text{ }-\text{ 120}\)

b)  Rút gọn biểu thức: \(A=\left( \frac{x}{{{x}^{2}}-4}+\frac{2}{2-x}+\frac{1}{x+2} \right):\left( x-2+\frac{10-{{x}^{2}}}{x+2} \right)\) rồi tìm x sao cho \(\left| A \right|=-A\) 

Câu 2. (2,0 điểm)  Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{\text{x}}{\text{2020}}\text{+}\frac{\text{x+1}}{\text{2019}}\text{+}\frac{\text{x+2}}{\text{2018}}\text{+}\frac{\text{x+3}}{\text{2017}}\text{=x +2016}\)

b) \(\left( \text{3x }+\text{ 4} \right)\left( \text{x }+\text{ 1} \right){{\left( \text{6x }+\text{ 7} \right)}^{\text{2}}}~=\text{ 6}\) 

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Tìm x, y nguyên dương biết: x² - y² + 2x - 4y – 10 = 0 

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴ là số chính phương.

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Phú Nhuận. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.